Задача 2.8. Зависимость скорости звука в газах от температуры
В трубу органа вдувается воздух при температуре \( t_1 = 17 \text{ °C} \), и при этом труба издаёт звук с частотой \( f_1 = 440 \text{ Гц} \). При какой температуре вдуваемого воздуха эта же труба будет издавать звук с частотой \( f_2 = 447 \text{ Гц} \)?
Решение:
1. Понимание физического процесса:
Частота звука, издаваемого органной трубой, зависит от скорости звука в воздухе внутри трубы. Скорость звука в газе, в свою очередь, зависит от его температуры.
Для органной трубы (или любого резонатора) длина волны \( \lambda \) (лямбда) звука определяется геометрическими размерами трубы и её типом (открытая или закрытая). Поскольку труба одна и та же, длина волны звука, который она может резонировать, остаётся постоянной.
Связь между скоростью звука \( v \), частотой \( f \) и длиной волны \( \lambda \) выражается формулой: \[ v = f \cdot \lambda \] Так как \( \lambda \) постоянна, то скорость звука \( v \) прямо пропорциональна частоте \( f \): \[ v \sim f \] То есть, отношение скоростей звука равно отношению частот: \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{f_2}{f_1} \]
2. Зависимость скорости звука от температуры:
Скорость звука в газе зависит от абсолютной температуры \( T \) (в Кельвинах) по формуле: \[ v = \sqrt{\gamma \frac{R T}{M}} \] Где \( \gamma \), \( R \), \( M \) — константы для данного газа.
Из этой формулы видно, что скорость звука прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры: \[ v \sim \sqrt{T} \] То есть, отношение скоростей звука равно отношению корней из абсолютных температур: \[ \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \]
3. Объединение зависимостей:
Приравняем два выражения для отношения скоростей: \[ \frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \] Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2 = \frac{T_2}{T_1} \] Отсюда выразим \( T_2 \): \[ T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2 \]
4. Перевод температур в Кельвины:
Нам дана температура \( t_1 \) в градусах Цельсия. Для расчетов по формуле, использующей абсолютную температуру, нужно перевести её в Кельвины: \[ T_1 = t_1 + 273.15 \] \[ T_1 = 17 \text{ °C} + 273.15 = 290.15 \text{ К} \] Для удобства расчетов можно округлить до 273: \[ T_1 = 17 \text{ °C} + 273 = 290 \text{ К} \]
5. Подставим значения и рассчитаем \( T_2 \):
Известные величины:
\( T_1 = 290 \text{ К} \)
\( f_1 = 440 \text{ Гц} \)
\( f_2 = 447 \text{ Гц} \)
\[ T_2 = 290 \text{ К} \cdot \left(\frac{447 \text{ Гц}}{440 \text{ Гц}}\right)^2 \] \[ T_2 = 290 \text{ К} \cdot \left(1.015909...\right)^2 \] \[ T_2 = 290 \text{ К} \cdot 1.03206... \] \[ T_2 \approx 299.30 \text{ К} \]
6. Переведем \( T_2 \) обратно в градусы Цельсия:
\[ t_2 = T_2 - 273 \] \[ t_2 = 299.30 \text{ К} - 273 \] \[ t_2 \approx 26.30 \text{ °C} \] Округлим до целого числа, как это принято в подобных задачах, если не указано иное.
Ответ:
Температура вдуваемого воздуха должна быть примерно 26 °C.
\( t_2 \approx 26 \text{ °C} \)