Решение задачи А54: Ускорение шарика маятника

Хорошо, давайте решим задачу А54. Задача А54: Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в нижнем положении равно по модулю половине ускорения свободного падения. Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении. Решение: 1. Запишем, что дано в задаче: * Ускорение шарика в нижнем положении: \(a_{нижн} = \frac{1}{2} g\) * Найти: модуль ускорения шарика в крайнем положении \(a_{крайн}\). 2. Рассмотрим движение шарика. Это маятник. * В нижнем положении шарик имеет максимальную скорость и минимальное отклонение от вертикали. В этом положении ускорение направлено вертикально вверх (центростремительное ускорение). * В крайнем положении шарик имеет нулевую скорость и максимальное отклонение от вертикали. В этом положении ускорение имеет только тангенциальную составляющую, направленную по касательной к траектории. 3. Рассмотрим силы, действующие на шарик в нижнем положении. * Сила натяжения нити \(T\) направлена вверх. * Сила тяжести \(mg\) направлена вниз. * По второму закону Ньютона: \(T - mg = m a_{нижн}\) * Ускорение \(a_{нижн}\) в нижнем положении является центростремительным ускорением: \(a_{нижн} = \frac{V_{нижн}^2}{L}\), где \(V_{нижн}\) - скорость шарика в нижнем положении, а \(L\) - длина нити. * По условию \(a_{нижн} = \frac{1}{2} g\). * Значит, \(\frac{V_{нижн}^2}{L} = \frac{1}{2} g\). Отсюда \(V_{нижн}^2 = \frac{1}{2} g L\). 4. Рассмотрим движение шарика с точки зрения закона сохранения энергии. * Пусть нижнее положение будет нулевым уровнем потенциальной энергии. * В крайнем положении скорость шарика равна нулю, а высота, на которую он поднялся, равна \(h\). * В нижнем положении потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия равна \(\frac{1}{2} m V_{нижн}^2\). * По закону сохранения энергии: \(\frac{1}{2} m V_{нижн}^2 = m g h\) Подставим \(V_{нижн}^2 = \frac{1}{2} g L\): \(\frac{1}{2} m \left(\frac{1}{2} g L\right) = m g h\) \(\frac{1}{4} m g L = m g h\) Отсюда высота подъема: \(h = \frac{1}{4} L\) 5. Теперь найдем угол отклонения нити в крайнем положении. * Из геометрии маятника, если \(L\) - длина нити, а \(h\) - высота подъема, то \(h = L - L \cos \alpha\), где \(\alpha\) - угол отклонения нити от вертикали в крайнем положении. * \(\frac{1}{4} L = L - L \cos \alpha\) * Разделим на \(L\): \(\frac{1}{4} = 1 - \cos \alpha\) * \(\cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) 6. Рассмотрим силы, действующие на шарик в крайнем положении. * В крайнем положении скорость шарика равна нулю, поэтому центростремительное ускорение отсутствует. * На шарик действует сила тяжести \(mg\) и сила натяжения нити \(T'\). * Ускорение шарика в крайнем положении \(a_{крайн}\) является тангенциальным ускорением. Оно направлено по касательной к траектории. * Проекция силы тяжести на касательную к траектории в крайнем положении равна \(mg \sin \alpha\). * По второму закону Ньютона: \(m a_{крайн} = mg \sin \alpha\) * Отсюда: \(a_{крайн} = g \sin \alpha\) 7. Найдем \(\sin \alpha\), зная \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). * Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) * \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}\) * \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\) (угол \(\alpha\) острый, поэтому \(\sin \alpha\) положительный). 8. Подставим значение \(\sin \alpha\) в формулу для \(a_{крайн}\): \(a_{крайн} = g \frac{\sqrt{7}}{4}\) Ответ: Модуль ускорения шарика в крайнем положении равен: \[a_{крайн} = \frac{\sqrt{7}}{4} g\]