Решение задачи А54: Ускорение маятника

Хорошо, давайте решим задачу А54. Задача А54: Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в нижнем положении равно по модулю половине ускорения свободного падения. Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении. Решение: 1. Запишем, что дано в задаче: * Ускорение шарика в нижнем положении: \(a_{ниж} = \frac{g}{2}\), где \(g\) - ускорение свободного падения. * Найти: модуль ускорения шарика в крайнем положении \(a_{край}\). 2. Рассмотрим движение шарика. Это маятник, совершающий колебания. * В нижнем положении шарик имеет максимальную скорость и движется по дуге окружности. В этом положении на него действуют сила тяжести \(mg\) (вниз) и сила натяжения нити \(T\) (вверх). Ускорение в нижнем положении является центростремительным, направленным вверх. * В крайнем положении шарик на мгновение останавливается, его скорость равна нулю. В этом положении на него действуют сила тяжести \(mg\) (вниз) и сила натяжения нити \(T'\) (вдоль нити к точке подвеса). Ускорение в крайнем положении является тангенциальным, направленным по касательной к траектории. 3. Анализ нижнего положения: * В нижнем положении скорость шарика максимальна, обозначим её \(V_{max}\). * Центростремительное ускорение: \(a_{ниж} = \frac{V_{max}^2}{L}\), где \(L\) - длина нити. * По условию: \(a_{ниж} = \frac{g}{2}\). * Значит, \(\frac{V_{max}^2}{L} = \frac{g}{2}\). * Отсюда можно выразить \(V_{max}^2 = \frac{gL}{2}\). 4. Применим закон сохранения энергии для определения высоты подъема шарика. * Пусть нижнее положение соответствует нулевому уровню потенциальной энергии. * В нижнем положении полная энергия: \(E_{ниж} = \frac{1}{2} m V_{max}^2 + 0\). * В крайнем положении скорость шарика равна нулю, он поднимается на некоторую высоту \(h\) относительно нижнего положения. Полная энергия: \(E_{край} = 0 + mgh\). * По закону сохранения энергии: \(E_{ниж} = E_{край}\). * \(\frac{1}{2} m V_{max}^2 = mgh\) * \(\frac{1}{2} V_{max}^2 = gh\) * Подставим \(V_{max}^2 = \frac{gL}{2}\): \(\frac{1}{2} \left(\frac{gL}{2}\right) = gh\) \(\frac{gL}{4} = gh\) Отсюда высота подъема: \(h = \frac{L}{4}\). 5. Определим угол отклонения нити в крайнем положении. * Пусть \(\alpha\) - максимальный угол отклонения нити от вертикали. * Из геометрии (рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный нитью, вертикалью и горизонталью): \(L - h = L \cos \alpha\) \(L - \frac{L}{4} = L \cos \alpha\) \(\frac{3L}{4} = L \cos \alpha\) \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\) 6. Анализ крайнего положения: * В крайнем положении скорость шарика равна нулю. Следовательно, центростремительное ускорение равно нулю. * Ускорение шарика в крайнем положении является только тангенциальным (касательным) ускорением. * Тангенциальное ускорение обусловлено проекцией силы тяжести на касательную к траектории. * Сила тяжести \(mg\) направлена вертикально вниз. Угол между нитью и вертикалью равен \(\alpha\). Угол между касательной и вертикалью равен \(90^\circ - \alpha\). Угол между касательной и направлением силы тяжести равен \(\alpha\). * Проекция силы тяжести на касательную: \(F_{танг} = mg \sin \alpha\). * По второму закону Ньютона: \(m a_{край} = F_{танг}\) * \(m a_{край} = mg \sin \alpha\) * \(a_{край} = g \sin \alpha\) 7. Найдем \(\sin \alpha\), зная \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). * Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). * \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}\) * \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\) (берем положительное значение, так как \(\alpha\) - острый угол). 8. Подставим значение \(\sin \alpha\) в формулу для \(a_{край}\): \(a_{край} = g \frac{\sqrt{7}}{4}\) Ответ: Модуль ускорения шарика в крайнем положении равен: \[a_{край} = \frac{\sqrt{7}}{4} g\]