Определение угла между векторами: решение задачи

Рассмотрим рисунок и определим, чему равны углы между векторами. Для определения угла между векторами, мы можем перенести их так, чтобы их начала совпадали, и измерить наименьший угол между ними. Каждый квадрат сетки имеет сторону, которую мы можем принять за единицу длины. 1. Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\). Вектор \(\vec{a}\) направлен из точки (0,0) в точку (-4,4) или из (4,-4) в (0,0). Его направление можно описать как "влево-вверх" под углом 45 градусов к горизонтали. Вектор \(\vec{c}\) направлен из точки (0,0) в точку (2,-2) или из (-2,2) в (0,0). Его направление можно описать как "вправо-вниз" под углом 45 градусов к горизонтали. Давайте перенесем начало вектора \(\vec{c}\) в начало вектора \(\vec{a}\). Если начало \(\vec{a}\) находится в точке (4,0) (для удобства), то конец \(\vec{a}\) будет в (0,4). Если начало \(\vec{c}\) находится в точке (4,0), то конец \(\vec{c}\) будет в (6,-2). Это не очень удобно. Давайте лучше представим, что оба вектора начинаются из одной точки, например, из начала координат (0,0). Вектор \(\vec{a}\) можно представить как вектор с компонентами \((-4, 4)\). Вектор \(\vec{c}\) можно представить как вектор с компонентами \((2, -2)\). Угол между векторами можно найти по формуле скалярного произведения: \[\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \theta\] \[\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| |\vec{c}|}\] Найдем скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{c} = (-4)(2) + (4)(-2) = -8 - 8 = -16\] Найдем длины векторов: \[|\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] Теперь найдем \(\cos \theta\): \[\cos \theta = \frac{-16}{(4\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{-16}{8 \cdot 2} = \frac{-16}{16} = -1\] Если \(\cos \theta = -1\), то \(\theta = 180^\circ\). Это означает, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) направлены в противоположные стороны. Действительно, \(\vec{a}\) имеет направление "влево-вверх" под 45 градусов, а \(\vec{c}\) имеет направление "вправо-вниз" под 45 градусов. Они лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Ответ: Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) равен \(180^\circ\). 2. Угол между векторами \(\vec{e}\) и \(\vec{d}\). Вектор \(\vec{e}\) направлен из точки (0,0) в точку (2,-2) или из (-2,2) в (0,0). Его направление "вправо-вниз" под углом 45 градусов к горизонтали. Вектор \(\vec{d}\) направлен из точки (0,0) в точку (0,-3) или из (0,3) в (0,0). Его направление "строго вниз". Представим, что оба вектора начинаются из начала координат (0,0). Вектор \(\vec{e}\) можно представить как вектор с компонентами \((2, -2)\). Вектор \(\vec{d}\) можно представить как вектор с компонентами \((0, -3)\). Найдем скалярное произведение: \[\vec{e} \cdot \vec{d} = (2)(0) + (-2)(-3) = 0 + 6 = 6\] Найдем длины векторов: \[|\vec{e}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] \[|\vec{d}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3\] Теперь найдем \(\cos \theta\): \[\cos \theta = \frac{6}{(2\sqrt{2})(3)} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Если \(\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(\theta = 45^\circ\). Действительно, вектор \(\vec{e}\) направлен "вправо-вниз" под 45 градусов к горизонтали, а вектор \(\vec{d}\) направлен "строго вниз". Угол между ними составляет 45 градусов. Ответ: Угол между \(\vec{e}\) и \(\vec{d}\) равен \(45^\circ\). 3. Угол между векторами \(\vec{e}\) и \(\vec{b}\). Вектор \(\vec{e}\) направлен из точки (0,0) в точку (2,-2) или из (-2,2) в (0,0). Его направление "вправо-вниз" под углом 45 градусов к горизонтали. Вектор \(\vec{b}\) направлен из точки (0,0) в точку (3,0) или из (-3,0) в (0,0). Его направление "строго вправо". Представим, что оба вектора начинаются из начала координат (0,0). Вектор \(\vec{e}\) можно представить как вектор с компонентами \((2, -2)\). Вектор \(\vec{b}\) можно представить как вектор с компонентами \((3, 0)\). Найдем скалярное произведение: \[\vec{e} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-2)(0) = 6 + 0 = 6\] Найдем длины векторов: \[|\vec{e}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3\] Теперь найдем \(\cos \theta\): \[\cos \theta = \frac{6}{(2\sqrt{2})(3)} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Если \(\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(\theta = 45^\circ\). Действительно, вектор \(\vec{e}\) направлен "вправо-вниз" под 45 градусов к горизонтали, а вектор \(\vec{b}\) направлен "строго вправо". Угол между ними составляет 45 градусов. Ответ: Угол между \(\vec{e}\) и \(\vec{b}\) равен \(45^\circ\). Запишем ответы: Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) = \(180^\circ\). Угол между \(\vec{e}\) и \(\vec{d}\) = \(45^\circ\). Угол между \(\vec{e}\) и \(\vec{b}\) = \(45^\circ\).