Задача:
В четырёхугольнике MNKP длина стороны MN равна 12, синус угла NMK равен 0,32, синус угла MRN равен 0,48. Сумма углов MNP и NKP равна 180°. Найдите длину стороны NK.
Решение:
1. Сначала внимательно прочитаем условие задачи. Нам дан четырёхугольник MNKP. Известны длины одной стороны и синусы двух углов. Также дана сумма двух углов, которая равна 180°.
2. Запишем данные, которые нам известны:
- \(MN = 12\)
- \(\sin(\angle NMK) = 0,32\)
- \(\sin(\angle MRN) = 0,48\)
- \(\angle MNP + \angle NKP = 180^\circ\)
Нам нужно найти длину стороны \(NK\).
3. Обратим внимание на условие \(\angle MNP + \angle NKP = 180^\circ\). Это очень важное свойство. Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг такого четырёхугольника можно описать окружность. То есть, четырёхугольник MNKP является вписанным в окружность.
4. Если четырёхугольник MNKP вписан в окружность, то для него справедлива теорема синусов для вписанного четырёхугольника. Однако, чаще всего, мы используем теорему синусов для треугольников, образованных диагоналями.
5. Рассмотрим треугольник \(MNK\). По теореме синусов для треугольника \(MNK\):
\[\frac{MN}{\sin(\angle MKN)} = \frac{NK}{\sin(\angle NMK)}\]Мы знаем \(MN\) и \(\sin(\angle NMK)\). Нам нужно найти \(NK\). Для этого нам потребуется \(\sin(\angle MKN)\).
6. Теперь рассмотрим треугольник \(MNP\). Угол \(\angle MRN\) в условии задачи, скорее всего, опечатка и должен быть \(\angle MPN\) или \(\angle MKP\), так как точка R не определена. Предположим, что \(\angle MRN\) на самом деле относится к углу, который опирается на ту же дугу, что и \(\angle MKN\), или является углом в другом треугольнике, связанном с \(NK\). Однако, если это \(\angle MPN\), то он опирается на дугу \(MN\). Если это \(\angle MKP\), то он опирается на дугу \(MP\).
7. Давайте перечитаем условие внимательно: "синус угла NMK равен 0,32, синус угла MRN равен 0,48". Если R - это точка пересечения диагоналей, то \(\angle MRN\) - это угол между диагоналями. Но это не помогает напрямую. Наиболее вероятная интерпретация, учитывая, что четырёхугольник вписан, это то, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Возможно, \(\angle MRN\) - это опечатка и имелся в виду \(\angle MPN\), который опирается на дугу \(MN\), или \(\angle MKN\), который опирается на дугу \(MN\). Если \(\angle MRN\) - это \(\angle MPN\), то \(\sin(\angle MPN) = 0,48\). Если \(\angle MRN\) - это \(\angle MKN\), то \(\sin(\angle MKN) = 0,48\).
8. Давайте предположим, что \(\angle MRN\) - это опечатка и на самом деле это \(\angle MPN\). Тогда \(\sin(\angle MPN) = 0,48\). В вписанном четырёхугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол \(\angle MKN\) и угол \(\angle MPN\) опираются на одну и ту же дугу \(MN\). Следовательно, \(\angle MKN = \angle MPN\).
Тогда \(\sin(\angle MKN) = \sin(\angle MPN) = 0,48\).
9. Теперь подставим известные значения в теорему синусов для треугольника \(MNK\):
\[\frac{MN}{\sin(\angle MKN)} = \frac{NK}{\sin(\angle NMK)}\] \[\frac{12}{0,48} = \frac{NK}{0,32}\]10. Решим это уравнение относительно \(NK\):
\[NK = \frac{12 \cdot 0,32}{0,48}\] \[NK = \frac{12 \cdot 32}{48}\]Сократим 12 и 48:
\[NK = \frac{1 \cdot 32}{4}\] \[NK = 8\]Ответ:
Длина стороны NK равна 8.