Задача:
Найти сумму всех коэффициентов многочлена \(P(x) = (2x^3 - 2x^2 - 1)^{2025} \cdot (x^3 - 2x^2)^{2023}\).
Решение:
1. Сначала вспомним важное свойство многочленов. Сумма всех коэффициентов любого многочлена \(P(x)\) равна значению этого многочлена при \(x = 1\).
То есть, если \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\), то сумма коэффициентов \(S = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0\). Если мы подставим \(x = 1\) в многочлен, то получим:
\[P(1) = a_n (1)^n + a_{n-1} (1)^{n-1} + \dots + a_1 (1) + a_0\] \[P(1) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0\]Таким образом, \(S = P(1)\).
2. Теперь применим это правило к нашему многочлену \(P(x)\).
Нам нужно найти \(P(1)\).
Подставим \(x = 1\) в выражение для \(P(x)\):
\[P(1) = (2(1)^3 - 2(1)^2 - 1)^{2025} \cdot ((1)^3 - 2(1)^2)^{2023}\]3. Вычислим значения выражений в скобках:
Первая скобка:
\[2(1)^3 - 2(1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 2 - 1 = -1\]Вторая скобка:
\[(1)^3 - 2(1)^2 = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1\]4. Теперь подставим эти значения обратно в выражение для \(P(1)\):
\[P(1) = (-1)^{2025} \cdot (-1)^{2023}\]5. Вычислим степени:
Поскольку 2025 - нечётное число, \((-1)^{2025} = -1\).
Поскольку 2023 - нечётное число, \((-1)^{2023} = -1\).
6. Окончательно вычислим \(P(1)\):
\[P(1) = (-1) \cdot (-1)\] \[P(1) = 1\]Таким образом, сумма всех коэффициентов многочлена \(P(x)\) равна 1.
Ответ:
1