Задача 14. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице показано, как изменялась сила тока в контуре с течением времени.
| t, мкс | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| I, А | 0,0 | 2,2 | 3,0 | 2,2 | 0,0 | -2,2 | -3,0 | -2,2 | 0,0 | 2,2 |
Выберите все верные утверждения о процессе, происходящем в контуре. В ответе запишите их номера.
1) В момент \(t = 2\) мкс напряжение на конденсаторе минимально.
2) Период колебаний энергии магнитного поля катушки равен \(t = 4\) мкс.
3) Частота электромагнитных колебаний равна 25 кГц.
4) В момент \(t = 6\) мкс заряд конденсатора максимален.
5) В момент \(t = 6\) мкс энергия магнитного поля катушки максимальна.
Решение:
Для решения задачи проанализируем данные таблицы и вспомним основные свойства колебательного контура.
Из таблицы видно, что сила тока \(I\) изменяется со временем. Сила тока максимальна по модулю при \(t = 2\) мкс (3,0 А) и при \(t = 6\) мкс (-3,0 А). Сила тока равна нулю при \(t = 0\) мкс, \(t = 4\) мкс, \(t = 8\) мкс.
1. Определим период колебаний силы тока.
Период колебаний силы тока \(T\) — это время, за которое сила тока возвращается к своему начальному значению и направлению. Из таблицы видно, что \(I(0) = 0,0\) А. Следующее значение \(I = 0,0\) А происходит при \(t = 4\) мкс, но при этом ток меняет направление (после 0 мкс ток растет до положительного максимума, а после 4 мкс ток убывает до отрицательного максимума). Полный период завершается, когда ток возвращается к 0,0 А и начинает расти в том же направлении. Это происходит при \(t = 8\) мкс.
Значит, период колебаний силы тока \(T = 8\) мкс.
Теперь рассмотрим каждое утверждение:
Утверждение 1: В момент \(t = 2\) мкс напряжение на конденсаторе минимально.
В колебательном контуре, когда сила тока максимальна, заряд на конденсаторе и напряжение на нем минимальны (равны нулю). Из таблицы видно, что при \(t = 2\) мкс сила тока \(I = 3,0\) А, что является максимальным значением. Следовательно, в этот момент заряд на конденсаторе равен нулю, а значит, и напряжение на конденсаторе минимально (равно нулю).
Утверждение 1 — верно.
Утверждение 2: Период колебаний энергии магнитного поля катушки равен \(t = 4\) мкс.
Энергия магнитного поля катушки определяется формулой: \[W_L = \frac{L I^2}{2}\]
Энергия магнитного поля максимальна, когда сила тока максимальна, и равна нулю, когда сила тока равна нулю. Поскольку \(I^2\) всегда положительно, энергия магнитного поля колеблется с удвоенной частотой по сравнению с силой тока. Период колебаний силы тока \(T = 8\) мкс. Значит, энергия магнитного поля достигает максимума дважды за один период колебаний тока (когда ток максимален в положительном и отрицательном направлении). Период колебаний энергии магнитного поля \(T_W = \frac{T}{2} = \frac{8 \text{ мкс}}{2} = 4\) мкс.
Утверждение 2 — верно.
Утверждение 3: Частота электромагнитных колебаний равна 25 кГц.
Частота электромагнитных колебаний \(f\) связана с периодом \(T\) соотношением: \[f = \frac{1}{T}\]
Мы определили, что период колебаний \(T = 8\) мкс \( = 8 \cdot 10^{-6}\) с.
Тогда частота: \[f = \frac{1}{8 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = \frac{10^6}{8} \text{ Гц} = 125000 \text{ Гц} = 125 \text{ кГц}\]
Утверждение 3 — неверно.
Утверждение 4: В момент \(t = 6\) мкс заряд конденсатора максимален.
Заряд на конденсаторе максимален, когда сила тока в контуре равна нулю. Из таблицы видно, что при \(t = 6\) мкс сила тока \(I = -3,0\) А, что является максимальным значением по модулю (но в отрицательном направлении). В этот момент энергия магнитного поля максимальна, а энергия электрического поля конденсатора минимальна (равна нулю), то есть заряд на конденсаторе равен нулю.
Утверждение 4 — неверно.
Утверждение 5: В момент \(t = 6\) мкс энергия магнитного поля катушки максимальна.
Энергия магнитного поля катушки максимальна, когда сила тока в катушке максимальна по модулю. Из таблицы видно, что при \(t = 6\) мкс сила тока \(I = -3,0\) А. Это максимальное значение силы тока по модулю.
Следовательно, в этот момент энергия магнитного поля катушки максимальна.
Утверждение 5 — верно.
Вывод: Верными являются утверждения 1, 2, 5.
Ответ: 125