Задача:
Мистер Фокс купил сломанный калькулятор. Он может выполнять только две команды:
- Прибавить 2;
- Умножить на 3.
Можно ли с помощью калькулятора мистера Фокса преобразовать число 3 в число 69, используя не более 5 команд? Если можно, то напишите последовательность команд без пробелов, используя только цифры.
Решение:
Нам нужно получить число 69, начиная с числа 3, используя не более 5 команд. Попробуем различные комбинации команд.
Обозначим команду "Прибавить 2" как 1, а команду "Умножить на 3" как 2.
Начнем с числа 3.
Попытка 1:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(9 \times 3 = 27\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(27 \times 3 = 81\) (Это уже больше 69, значит, такой путь не подходит)
Попытка 2:
Попробуем чередовать команды или использовать команду "Прибавить 2" раньше.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(17 \times 3 = 51\)
6. Команда 1 (Прибавить 2): \(51 + 2 = 53\) (Не 69, и уже 6 команд)
Попытка 3:
Попробуем начать с умножения, а затем добавлять.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(11 \times 3 = 33\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(33 + 2 = 35\) (Не 69)
Попытка 4:
Попробуем другую комбинацию, возможно, несколько сложений подряд.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(21 \times 3 = 63\)
6. Команда 1 (Прибавить 2): \(63 + 2 = 65\) (Не 69, и уже 6 команд)
Попытка 5:
Давайте попробуем идти "от конца". Если мы получили 69, то последняя команда могла быть либо "Прибавить 2", либо "Умножить на 3".
Если последняя команда была "Прибавить 2", то перед ней было \(69 - 2 = 67\). Число 67 не делится на 3, значит, перед 67 не могла быть команда "Умножить на 3".
Если последняя команда была "Умножить на 3", то перед ней было \(69 \div 3 = 23\).
Итак, мы хотим получить 23 за 4 команды, начиная с 3.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(17 + 2 = 19\) (Не 23)
Давайте попробуем другой путь к 23.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(13 + 2 = 15\) (Не 23)
Попытка 6:
Давайте попробуем такую последовательность:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(7 + 2 = 9\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(9 \times 3 = 27\) (Не 69)
Попытка 7:
Попробуем такую последовательность:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(13 \times 3 = 39\) (Не 69)
Попытка 8:
Давайте попробуем другую комбинацию, чтобы получить 23 за 4 команды.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(21 + 2 = 23\)
Это 5 команд, чтобы получить 23. А нам нужно получить 23 за 4 команды, чтобы потом умножить на 3 и получить 69 (это будет 5-я команда).
Значит, путь к 23 за 4 команды:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(13 + 2 = 15\) (Не 23)
Давайте пересмотрим. Мы хотим получить 69. Если последняя команда была "Прибавить 2", то перед ней было 67. Если последняя команда была "Умножить на 3", то перед ней было 23.
Попробуем получить 23 за 4 команды, начиная с 3.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(17 + 2 = 19\) (Не 23)
Попробуем другую комбинацию для 23:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(7 + 2 = 9\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\) (Не 23)
Давайте попробуем такой путь:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(17 \times 3 = 51\)
Это 4 команды, получили 51. Нам нужно 69.
Давайте попробуем такой путь:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(11 \times 3 = 33\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(33 + 2 = 35\) (Не 69)
Попытка 9 (обратный ход):
Цель: 69. Не более 5 команд.
1. Если последняя команда была 1 (Прибавить 2), то перед ней было \(69 - 2 = 67\).
2. Если перед 67 была команда 1, то было \(67 - 2 = 65\).
3. Если перед 65 была команда 1, то было \(65 - 2 = 63\).
4. Если перед 63 была команда 2 (Умножить на 3), то было \(63 \div 3 = 21\).
5. Если перед 21 была команда 2 (Умножить на 3), то было \(21 \div 3 = 7\).
6. Если перед 7 была команда 1 (Прибавить 2), то было \(7 - 2 = 5\).
7. Если перед 5 была команда 1 (Прибавить 2), то было \(5 - 2 = 3\).
Итак, мы нашли путь: Начинаем с 3.
1. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(21 \times 3 = 63\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(63 + 2 = 65\)
Это 5 команд, но результат 65, а не 69.
Давайте попробуем другой обратный ход.
Цель: 69.
Предположим, что последняя команда была "Умножить на 3". Тогда перед ней было \(69 \div 3 = 23\).
Теперь нам нужно получить 23 за 4 команды, начиная с 3.
Предположим, что перед 23 была команда "Прибавить 2". Тогда перед ней было \(23 - 2 = 21\).
Теперь нам нужно получить 21 за 3 команды, начиная с 3.
Предположим, что перед 21 была команда "Умножить на 3". Тогда перед ней было \(21 \div 3 = 7\).
Теперь нам нужно получить 7 за 2 команды, начиная с 3.
Предположим, что перед 7 была команда "Прибавить 2". Тогда перед ней было \(7 - 2 = 5\).
Теперь нам нужно получить 5 за 1 команду, начиная с 3.
Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\).
Отлично! Мы нашли последовательность команд, и она состоит из 5 команд.
Давайте запишем прямой ход:
1. Начинаем с числа 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(21 + 2 = 23\)
6. Команда 2 (Умножить на 3): \(23 \times 3 = 69\)
Ой, это 6 команд. Нам нужно не более 5 команд.
Вернемся к обратному ходу, чтобы получить 23 за 4 команды.
Цель: 23. Начинаем с 3. 4 команды.
1. Если последняя команда была 1, то перед ней было \(23 - 2 = 21\).
2. Если перед 21 была команда 2, то было \(21 \div 3 = 7\).
3. Если перед 7 была команда 1, то было \(7 - 2 = 5\).
4. Если перед 5 была команда 1, то было \(5 - 2 = 3\).
Итак, последовательность команд для получения 23 из 3 за 4 шага:
1. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
4. Ко