Решение задачи: программа Мистера Фокса

Задача:

Мистер Фокс написал программу:

x = int(input())
n = 1
while x > 1:
    x = x//2
    n = n + 1
print(n)

Определите, при каком наибольшем значении переменной x программа выдаст 6.

В ответ запишите только число.

Решение:

Давайте разберем, как работает программа.

1. В начале программы переменной \(n\) присваивается значение 1.

2. Цикл while x > 1: будет выполняться до тех пор, пока значение \(x\) больше 1.

3. Внутри цикла:

• x = x//2: значение \(x\) делится на 2 нацело (то есть отбрасывается дробная часть).
• n = n + 1: значение \(n\) увеличивается на 1.

4. После завершения цикла программа выводит значение \(n\).

Нам нужно найти такое наибольшее начальное значение \(x\), при котором программа выведет \(n = 6\).

Это означает, что цикл while x > 1: должен выполниться 5 раз, потому что начальное значение \(n\) равно 1, и оно увеличивается на 1 при каждом проходе цикла. Если \(n\) стало 6, значит, было 5 увеличений.

Давайте проследим за значениями \(x\) и \(n\) в обратном порядке, начиная с момента, когда \(n\) становится 6.

Пусть \(n\) стало 6. Это произошло после 5-го выполнения цикла.

Шаг 5 (последний проход цикла):

• \(n\) стало 6.
• Перед этим \(n\) было 5.
• Значение \(x\) было больше 1, и после деления нацело \(x//2\) оно стало меньше или равно 1.

Чтобы \(x//2\) стало меньше или равно 1, исходное \(x\) должно было быть 2 или 3.

• Если \(x = 2\), то \(x//2 = 1\).
• Если \(x = 3\), то \(x//2 = 1\).

Мы ищем наибольшее начальное \(x\), поэтому на каждом шаге будем брать наибольшее возможное значение \(x\).

Шаг 4:

• Перед этим \(n\) было 4.
• Значение \(x\) было больше 1, и после деления нацело \(x//2\) оно стало 2 или 3.

Чтобы \(x//2\) стало 2, \(x\) должно было быть 4 или 5.

• Если \(x = 4\), то \(x//2 = 2\).
• Если \(x = 5\), то \(x//2 = 2\).

Чтобы \(x//2\) стало 3, \(x\) должно было быть 6 или 7.

• Если \(x = 6\), то \(x//2 = 3\).
• Если \(x = 7\), то \(x//2 = 3\).

Наибольшее возможное \(x\) на этом шаге, которое при делении нацело даст 2 или 3, это 7.

Давайте продолжим в обратном порядке, умножая на 2 и добавляя 1, чтобы получить наибольшее возможное значение.

Мы хотим, чтобы цикл выполнился 5 раз. Это значит, что \(n\) увеличится 5 раз.

Пусть \(k\) - количество раз, которое выполнился цикл.

Если \(n\) выводит 6, то цикл выполнился \(6 - 1 = 5\) раз.

После 5-го деления \(x\) должно стать 1 (или меньше, но для наибольшего начального \(x\) мы стремимся к 1).

Значит, перед 5-м делением \(x\) было в диапазоне \([2, 3]\). Наибольшее - 3.

Перед 4-м делением \(x\) было в диапазоне \([2 \cdot 2, 2 \cdot 3 + 1] = [4, 7]\). Наибольшее - 7.

Перед 3-м делением \(x\) было в диапазоне \([2 \cdot 4, 2 \cdot 7 + 1] = [8, 15]\). Наибольшее - 15.

Перед 2-м делением \(x\) было в диапазоне \([2 \cdot 8, 2 \cdot 15 + 1] = [16, 31]\). Наибольшее - 31.

Перед 1-м делением \(x\) было в диапазоне \([2 \cdot 16, 2 \cdot 31 + 1] = [32, 63]\). Наибольшее - 63.

Таким образом, если начальное \(x = 63\):

1. Начало: \(x = 63\), \(n = 1\).
2. Цикл 1: \(x = 63 // 2 = 31\), \(n = 2\).
3. Цикл 2: \(x = 31 // 2 = 15\), \(n = 3\).
4. Цикл 3: \(x = 15 // 2 = 7\), \(n = 4\).
5. Цикл 4: \(x = 7 // 2 = 3\), \(n = 5\).
6. Цикл 5: \(x = 3 // 2 = 1\), \(n = 6\).

Теперь \(x = 1\), условие \(x > 1\) не выполняется, цикл завершается.

Программа выводит \(n = 6\).

Если бы мы взяли \(x = 64\):

1. Начало: \(x = 64\), \(n = 1\).
2. Цикл 1: \(x = 64 // 2 = 32\), \(n = 2\).
3. Цикл 2: \(x = 32 // 2 = 16\), \(n = 3\).
4. Цикл 3: \(x = 16 // 2 = 8\), \(n = 4\).
5. Цикл 4: \(x = 8 // 2 = 4\), \(n = 5\).
6. Цикл 5: \(x = 4 // 2 = 2\), \(n = 6\).
7. Цикл 6: \(x = 2 // 2 = 1\), \(n = 7\).

В этом случае программа выведет \(n = 7\), что нам не подходит.

Значит, наибольшее значение \(x\), при котором программа выдаст 6, равно 63.

Ответ: 63