Задача:
Даны векторы \(\vec{a} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}\) и \(\vec{b} = 7\vec{i} + 2\vec{k}\), где \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) — единичные взаимно перпендикулярные векторы (орты). Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Решение:
1. Запишем данные векторы в координатной форме.
Вектор \(\vec{a}\) имеет координаты: \((3; 2; -1)\).
Вектор \(\vec{b}\) имеет координаты: \((7; 0; 2)\). (Обратите внимание, что коэффициент при \(\vec{j}\) равен 0, так как \(\vec{j}\) отсутствует в выражении для \(\vec{b}\)).
2. Вспомним формулу для скалярного произведения двух векторов в координатной форме.
Если даны векторы \(\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)\) и \(\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)\), то их скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) вычисляется по формуле:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2\]
3. Подставим координаты наших векторов в формулу:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (3) \cdot (7) + (2) \cdot (0) + (-1) \cdot (2)\]
4. Выполним вычисления:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 21 + 0 - 2\]
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 19\]
Ответ:
Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно 19.