Задача:
Середина отрезка \(AB\) лежит на оси \(Ox\). Найдите \(m\) и \(n\), если \(A(2; m; -8)\), \(B(-4; 8; n)\).
Решение:
Пусть точка \(C(x_C; y_C; z_C)\) – середина отрезка \(AB\).
Координаты середины отрезка находятся по формулам:
\[x_C = \frac{x_A + x_B}{2}\] \[y_C = \frac{y_A + y_B}{2}\] \[z_C = \frac{z_A + z_B}{2}\]Подставим известные координаты точек \(A(2; m; -8)\) и \(B(-4; 8; n)\) в эти формулы:
\[x_C = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] \[y_C = \frac{m + 8}{2}\] \[z_C = \frac{-8 + n}{2}\]По условию задачи, середина отрезка \(AB\) лежит на оси \(Ox\).
Это означает, что у точки, лежащей на оси \(Ox\), координаты \(y\) и \(z\) равны нулю.
То есть, для точки \(C\):
\[y_C = 0\] \[z_C = 0\]Теперь приравняем выражения для \(y_C\) и \(z_C\) к нулю:
Для \(y_C\):
\[\frac{m + 8}{2} = 0\]Умножим обе части уравнения на 2:
\[m + 8 = 0 \cdot 2\] \[m + 8 = 0\]Вычтем 8 из обеих частей уравнения:
\[m = -8\]Для \(z_C\):
\[\frac{-8 + n}{2} = 0\]Умножим обе части уравнения на 2:
\[-8 + n = 0 \cdot 2\] \[-8 + n = 0\]Прибавим 8 к обеим частям уравнения:
\[n = 8\]Ответ:
m равно: -8
n равно: 8