Найти угол между медианой и стороной треугольника MNK

Решение задачи: Нам дан треугольник \(MNK\) с вершинами в точках \(M(2; -1; 2)\), \(N(4; 2; 1)\), \(K(2; 1; 4)\). Нужно найти угол, образованный медианой \(ND\) и стороной \(MK\). Шаг 1: Найдем координаты точки \(D\). Точка \(D\) является серединой стороны \(MK\), так как \(ND\) - медиана. Координаты середины отрезка находятся по формуле: \[D_x = \frac{M_x + K_x}{2}\] \[D_y = \frac{M_y + K_y}{2}\] \[D_z = \frac{M_z + K_z}{2}\] Подставим координаты точек \(M(2; -1; 2)\) и \(K(2; 1; 4)\): \[D_x = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[D_y = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0\] \[D_z = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Таким образом, координаты точки \(D\) равны \((2; 0; 3)\). Шаг 2: Найдем векторы \(\vec{ND}\) и \(\vec{MK}\). Вектор \(\vec{ND}\) имеет координаты: \[\vec{ND} = (D_x - N_x; D_y - N_y; D_z - N_z)\] Подставим координаты точек \(N(4; 2; 1)\) и \(D(2; 0; 3)\): \[\vec{ND} = (2 - 4; 0 - 2; 3 - 1) = (-2; -2; 2)\] Вектор \(\vec{MK}\) имеет координаты: \[\vec{MK} = (K_x - M_x; K_y - M_y; K_z - M_z)\] Подставим координаты точек \(M(2; -1; 2)\) и \(K(2; 1; 4)\): \[\vec{MK} = (2 - 2; 1 - (-1); 4 - 2) = (0; 1 + 1; 2) = (0; 2; 2)\] Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{ND}\) и \(\vec{MK}\). Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)\) вычисляется по формуле: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\] Для векторов \(\vec{ND} = (-2; -2; 2)\) и \(\vec{MK} = (0; 2; 2)\): \[\vec{ND} \cdot \vec{MK} = (-2) \cdot 0 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 2\] \[\vec{ND} \cdot \vec{MK} = 0 - 4 + 4 = 0\] Шаг 4: Найдем длины векторов \(\vec{ND}\) и \(\vec{MK}\). Длина вектора \(\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)\) вычисляется по формуле: \[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\] Для вектора \(\vec{ND} = (-2; -2; 2)\): \[|\vec{ND}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}\] \[|\vec{ND}| = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\] Для вектора \(\vec{MK} = (0; 2; 2)\): \[|\vec{MK}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8}\] \[|\vec{MK}| = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\] Шаг 5: Найдем косинус угла между векторами \(\vec{ND}\) и \(\vec{MK}\). Косинус угла \(\alpha\) между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется по формуле: \[\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] Подставим найденные значения: \[\cos \alpha = \frac{0}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}\] \[\cos \alpha = \frac{0}{4\sqrt{6}} = 0\] Шаг 6: Найдем сам угол. Если \(\cos \alpha = 0\), то угол \(\alpha\) равен \(90^\circ\). Ответ: Угол, образованный медианой \(ND\) и стороной \(MK\), равен \(90^\circ\). Выбираем вариант \(90^\circ\).