Решение задачи: Длина вектора в треугольной пирамиде

Решим задачу по геометрии. Задача: DABC — правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна \(\sqrt{48}\). Боковые ребра наклонены к основанию под углом \(60^\circ\). Найдите длину вектора \(|\vec{DC} + \vec{BA} + \vec{CB}|\). Решение: 1. Упростим выражение для вектора: Используем правило сложения векторов: \(\vec{BA} + \vec{CB} = \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}\). Тогда выражение примет вид: \(|\vec{DC} + \vec{CA}|\). Снова используем правило сложения векторов: \(\vec{DC} + \vec{CA} = \vec{DA}\). Таким образом, нам нужно найти длину вектора \(|\vec{DA}|\), что равно длине бокового ребра пирамиды \(DA\). 2. Найдем длину стороны основания: Сторона основания \(a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\). 3. Найдем радиус описанной окружности вокруг основания: Основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности \(R\) для равностороннего треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\] Подставим значение \(a\): \[R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\] Этот радиус \(R\) является расстоянием от центра основания до любой вершины основания. Пусть \(O\) — центр основания. Тогда \(OA = OB = OC = R = 4\). 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на основание и высотой пирамиды: Пусть \(H\) — высота пирамиды, \(DO\). Боковое ребро \(DA\) наклонено к основанию под углом \(60^\circ\). Это означает, что угол между боковым ребром \(DA\) и его проекцией \(OA\) на плоскость основания равен \(60^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DOA\). В этом треугольнике: Катет \(OA = R = 4\). Угол \(\angle DAO = 60^\circ\). Гипотенуза \(DA\) — это длина бокового ребра, которую нам нужно найти. 5. Найдем длину бокового ребра \(DA\): В прямоугольном треугольнике \(DOA\) мы знаем прилежащий катет \(OA\) и угол \(\angle DAO\). Используем косинус угла: \[\cos(\angle DAO) = \frac{OA}{DA}\] \[\cos(60^\circ) = \frac{4}{DA}\] Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). \[\frac{1}{2} = \frac{4}{DA}\] Отсюда, \(DA = 4 \cdot 2 = 8\). 6. Длина вектора \(|\vec{DA}|\) равна длине бокового ребра \(DA\). Следовательно, \(|\vec{DC} + \vec{BA} + \vec{CB}| = |\vec{DA}| = 8\). Ответ: 8