Даны точки:
\(A(0; 5; 4)\)
\(B(-4; 13; -4)\)
\(C(1; -2; 4\sqrt{2})\)
\(D(6; -6; 2\sqrt{2})\)
1) Найдите длину вектора \(\vec{AB}\).
Для начала найдем координаты вектора \(\vec{AB}\). Для этого из координат конечной точки (B) вычтем координаты начальной точки (A).
\(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\)
\(\vec{AB} = (-4 - 0; 13 - 5; -4 - 4)\)
\(\vec{AB} = (-4; 8; -8)\)
Теперь найдем длину вектора \(\vec{AB}\). Длина вектора вычисляется по формуле:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-8)^2}\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{16 + 64 + 64}\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{144}\)
\(|\vec{AB}| = 12\)
Ответ: 12
2) Найдите длину вектора \(\vec{CD}\).
Сначала найдем координаты вектора \(\vec{CD}\). Для этого из координат конечной точки (D) вычтем координаты начальной точки (C).
\(\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C)\)
\(\vec{CD} = (6 - 1; -6 - (-2); 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2})\)
\(\vec{CD} = (5; -6 + 2; (2-4)\sqrt{2})\)
\(\vec{CD} = (5; -4; -2\sqrt{2})\)
Теперь найдем длину вектора \(\vec{CD}\). Длина вектора вычисляется по формуле:
\(|\vec{CD}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-2\sqrt{2})^2}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{25 + 16 + (4 \cdot 2)}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{25 + 16 + 8}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{49}\)
\(|\vec{CD}| = 7\)
Ответ: 7