Решение:

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Декартова система координат В декартовой системе координат в пространстве заданы векторы \(\vec{a}(0; 5; -3)\) и \(\vec{b}(-1; 0; 2)\).

Задача 1: Найти вектор \(\vec{c}\) и сумму его координат

Найти такой вектор \(\vec{c}\), чтобы выполнялось равенство \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\). В ответе укажите сумму координат вектора \(\vec{c}\).

Решение:

1. Обозначим координаты вектора \(\vec{c}\) как \((x_c; y_c; z_c)\). 2. Запишем координаты заданных векторов: \(\vec{a} = (0; 5; -3)\) \(\vec{b} = (-1; 0; 2)\) \(\vec{c} = (x_c; y_c; z_c)\) 3. Равенство \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) означает, что сумма соответствующих координат всех трех векторов равна нулю. Для координаты \(x\): \(0 + (-1) + x_c = 0\) Для координаты \(y\): \(5 + 0 + y_c = 0\) Для координаты \(z\): \(-3 + 2 + z_c = 0\) 4. Решим каждое уравнение для нахождения координат вектора \(\vec{c}\): \(0 - 1 + x_c = 0 \Rightarrow -1 + x_c = 0 \Rightarrow x_c = 1\) \(5 + 0 + y_c = 0 \Rightarrow 5 + y_c = 0 \Rightarrow y_c = -5\) \(-3 + 2 + z_c = 0 \Rightarrow -1 + z_c = 0 \Rightarrow z_c = 1\) 5. Таким образом, вектор \(\vec{c}\) имеет координаты \((1; -5; 1)\). 6. В задаче требуется указать сумму координат вектора \(\vec{c}\). Сумма координат \(= x_c + y_c + z_c = 1 + (-5) + 1 = 1 - 5 + 1 = -3\).

Ответ к задаче 1:

Сумма координат вектора \(\vec{c}\) равна \(-3\).

Задача 2: Найти квадрат косинуса угла между векторами \(\vec{c}\) и \(\frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a})\)

Найдите косинус угла между векторами \(\vec{c}\) и \(\frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a})\). В ответе укажите квадрат значения косинуса угла, округлённый до сотых.

Решение:

1. Вектор \(\vec{c}\) мы нашли в предыдущей задаче: \(\vec{c} = (1; -5; 1)\). 2. Вектор \(\vec{a}\) задан: \(\vec{a} = (0; 5; -3)\). 3. Найдем вектор \(\vec{c} + \vec{a}\): \(\vec{c} + \vec{a} = (1+0; -5+5; 1+(-3)) = (1; 0; -2)\). 4. Найдем вектор \(\vec{d} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a})\): \(\vec{d} = \frac{1}{2}(1; 0; -2) = (\frac{1}{2}; 0; -1)\). 5. Для нахождения косинуса угла \(\alpha\) между двумя векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) используется формула: \[\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\] В нашем случае \(\vec{u} = \vec{c}\) и \(\vec{v} = \vec{d}\). 6. Вычислим скалярное произведение \(\vec{c} \cdot \vec{d}\): \(\vec{c} \cdot \vec{d} = (1)(\frac{1}{2}) + (-5)(0) + (1)(-1) = \frac{1}{2} + 0 - 1 = -\frac{1}{2}\). 7. Вычислим длины векторов \(|\vec{c}|\) и \(|\vec{d}|\): \[|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27}\] \[|\vec{d}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\] 8. Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: \[\cos \alpha = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{27} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{27 \cdot 5}}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{135}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{135}}\] 9. Нам нужно найти квадрат значения косинуса угла, то есть \(\cos^2 \alpha\): \[\cos^2 \alpha = \left(-\frac{1}{\sqrt{135}}\right)^2 = \frac{1}{135}\] 10. Округлим полученное значение до сотых. \(\frac{1}{135} \approx 0.007407...\) Округляем до сотых: \(0.01\).

Ответ к задаче 2:

Квадрат значения косинуса угла, округлённый до сотых, равен \(0.01\).