Направляющие векторы прямых позволяют вычислить угол между ними. В данном решении показан подробный расчет с использованием координат точек.
check_circle
Подробное решение
Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Задача: Найти угол между двумя прямыми
Найдите угол между прямой, проходящей через точки \(A(-1; 2; 3)\) и \(B(0; 5; -2)\), и прямой, проходящей через точки \(C(1; 3; 0)\) и \(D(2; 0; 3)\).
В ответ введите косинус этого угла, умноженный на \(\sqrt{665}\).
Решение:
1. Для нахождения угла между двумя прямыми нам нужно найти направляющие векторы этих прямых.
Направляющий вектор прямой, проходящей через две точки \(P_1(x_1; y_1; z_1)\) и \(P_2(x_2; y_2; z_2)\), можно найти как \(\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\).
2. Найдем направляющий вектор \(\vec{v_1}\) для первой прямой, проходящей через точки \(A(-1; 2; 3)\) и \(B(0; 5; -2)\):
\(\vec{v_1} = \vec{AB} = (0 - (-1); 5 - 2; -2 - 3) = (1; 3; -5)\).
3. Найдем направляющий вектор \(\vec{v_2}\) для второй прямой, проходящей через точки \(C(1; 3; 0)\) и \(D(2; 0; 3)\):
\(\vec{v_2} = \vec{CD} = (2 - 1; 0 - 3; 3 - 0) = (1; -3; 3)\).
4. Косинус угла \(\alpha\) между двумя векторами \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) находится по формуле:
\[\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\]
Мы используем абсолютное значение скалярного произведения, так как угол между прямыми обычно считается острым (от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\)).
5. Вычислим скалярное произведение \(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}\):
\(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (3)(-3) + (-5)(3) = 1 - 9 - 15 = -23\).
Тогда \(|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}| = |-23| = 23\).
6. Вычислим длины векторов \(|\vec{v_1}|\) и \(|\vec{v_2}|\):
\[|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}\]
\[|\vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}\]
7. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
\[\cos \alpha = \frac{23}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{19}} = \frac{23}{\sqrt{35 \cdot 19}} = \frac{23}{\sqrt{665}}\]
8. В задаче требуется ввести косинус этого угла, умноженный на \(\sqrt{665}\).
\(\cos \alpha \cdot \sqrt{665} = \frac{23}{\sqrt{665}} \cdot \sqrt{665} = 23\).
Ответ:
Косинус угла, умноженный на \(\sqrt{665}\), равен \(23\).
