Расстояние от точки до плоскости в кубе

Решение задачи: Расстояние от точки до плоскости Задача: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - куб с ребром 3. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DEK\), где \(E\) - середина \(C_1D_1\), \(K\) - середина \(A_1D_1\). Решение: 1. Введем систему координат. Пусть начало координат находится в точке \(D\). Ось \(x\) направлена вдоль \(DA\). Ось \(y\) направлена вдоль \(DC\). Ось \(z\) направлена вдоль \(DD_1\). Длина ребра куба \(a = 3\). 2. Найдем координаты вершин и заданных точек. \(D = (0, 0, 0)\) \(A = (3, 0, 0)\) \(B = (3, 3, 0)\) \(C = (0, 3, 0)\) \(D_1 = (0, 0, 3)\) \(A_1 = (3, 0, 3)\) \(B_1 = (3, 3, 3)\) \(C_1 = (0, 3, 3)\) Точка \(E\) - середина \(C_1D_1\). Координаты \(C_1 = (0, 3, 3)\), \(D_1 = (0, 0, 3)\). \(E = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(0, \frac{3}{2}, 3\right)\). Точка \(K\) - середина \(A_1D_1\). Координаты \(A_1 = (3, 0, 3)\), \(D_1 = (0, 0, 3)\). \(K = \left(\frac{3+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 0, 3\right)\). Итак, у нас есть точки: \(D = (0, 0, 0)\) \(E = \left(0, \frac{3}{2}, 3\right)\) \(K = \left(\frac{3}{2}, 0, 3\right)\) Точка, от которой ищем расстояние: \(B = (3, 3, 0)\). 3. Найдем уравнение плоскости \(DEK\). Общее уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D_0 = 0\). Так как плоскость проходит через начало координат \(D(0,0,0)\), то \(A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D_0 = 0\), откуда \(D_0 = 0\). Уравнение плоскости примет вид \(Ax + By + Cz = 0\). Подставим координаты точек \(E\) и \(K\) в уравнение плоскости: Для точки \(E\left(0, \frac{3}{2}, 3\right)\): \(A \cdot 0 + B \cdot \frac{3}{2} + C \cdot 3 = 0\) \(\frac{3}{2}B + 3C = 0\) Умножим на 2: \(3B + 6C = 0\), или \(B = -2C\). Для точки \(K\left(\frac{3}{2}, 0, 3\right)\): \(A \cdot \frac{3}{2} + B \cdot 0 + C \cdot 3 = 0\) \(\frac{3}{2}A + 3C = 0\) Умножим на 2: \(3A + 6C = 0\), или \(A = -2C\). Теперь подставим \(A = -2C\) и \(B = -2C\) в уравнение плоскости \(Ax + By + Cz = 0\): \(-2Cx - 2Cy + Cz = 0\) Разделим на \(C\) (предполагаем, что \(C \neq 0\), иначе \(A=B=0\), что невозможно для плоскости): \(-2x - 2y + z = 0\) Или, умножив на -1 для удобства: \(2x + 2y - z = 0\). 4. Найдем расстояние от точки \(B(3, 3, 0)\) до плоскости \(2x + 2y - z = 0\). Формула расстояния от точки \((x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D_0 = 0\) выглядит так: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\] В нашем случае: \((x_0, y_0, z_0) = (3, 3, 0)\) \(A = 2\), \(B = 2\), \(C = -1\), \(D_0 = 0\). Подставим значения в формулу: \[d = \frac{|2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}\] \[d = \frac{|6 + 6 + 0|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}\] \[d = \frac{|12|}{\sqrt{9}}\] \[d = \frac{12}{3}\] \[d = 4\] Ответ: Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DEK\) равно 4. Для записи в тетрадь: Заголовок: Расстояние от точки до плоскости Задача: Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 3. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DEK\), где \(E\) - середина \(C_1D_1\), \(K\) - середина \(A_1D_1\). Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат \(D\) находится в точке \((0, 0, 0)\). Ось \(x\) направим вдоль \(DA\). Ось \(y\) направим вдоль \(DC\). Ось \(z\) направим вдоль \(DD_1\). Длина ребра куба \(a = 3\). 2. Определим координаты необходимых точек: \(D = (0, 0, 0)\) \(B = (3, 3, 0)\) (так как \(A=(3,0,0)\), \(C=(0,3,0)\)) \(C_1 = (0, 3, 3)\) \(D_1 = (0, 0, 3)\) \(A_1 = (3, 0, 3)\) 3. Найдем координаты точек \(E\) и \(K\): \(E\) - середина \(C_1D_1\). Координаты \(E = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(0, \frac{3}{2}, 3\right)\). \(K\) - середина \(A_1D_1\). Координаты \(K = \left(\frac{3+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 0, 3\right)\). 4. Составим уравнение плоскости \(DEK\). Плоскость проходит через точки \(D(0,0,0)\), \(E\left(0, \frac{3}{2}, 3\right)\), \(K\left(\frac{3}{2}, 0, 3\right)\). Общее уравнение плоскости: \(Ax + By + Cz + D_0 = 0\). Так как \(D(0,0,0)\) лежит на плоскости, то \(D_0 = 0\). Уравнение плоскости: \(Ax + By + Cz = 0\). Подставим координаты \(E\): \(A \cdot 0 + B \cdot \frac{3}{2} + C \cdot 3 = 0\) \(\frac{3}{2}B + 3C = 0\) \(3B + 6C = 0 \Rightarrow B = -2C\). Подставим координаты \(K\): \(A \cdot \frac{3}{2} + B \cdot 0 + C \cdot 3 = 0\) \(\frac{3}{2}A + 3C = 0\) \(3A + 6C = 0 \Rightarrow A = -2C\). Подставим \(A\) и \(B\) в уравнение плоскости: \(-2Cx - 2Cy + Cz = 0\) Разделим на \(C\) (предполагая \(C \neq 0\)): \(-2x - 2y + z = 0\) Или \(2x + 2y - z = 0\). 5. Найдем расстояние от точки \(B(3, 3, 0)\) до плоскости \(2x + 2y - z = 0\). Используем формулу расстояния от точки \((x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D_0 = 0\): \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\] Здесь \((x_0, y_0, z_0) = (3, 3, 0)\), \(A = 2\), \(B = 2\), \(C = -1\), \(D_0 = 0\). \[d = \frac{|2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}\] \[d = \frac{|6 + 6 + 0|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}\] \[d = \frac{|12|}{\sqrt{9}}\] \[d = \frac{12}{3}\] \[d = 4\] Ответ: 4.