Расстояние от точки до плоскости в призме: Решение

Решение задачи: Расстояние от точки до плоскости В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна \(4\sqrt{2}\), а боковое ребро равно \(4\). Точка \(L\) — середина ребра \(CC_1\). Найдите расстояние от точки \(L\) до плоскости \(DA_1C_1\). В ответ запишите квадрат полученного расстояния. Решение: 1. Введем систему координат. Пусть начало координат находится в точке \(D\). Ось \(x\) направим вдоль \(DA\). Ось \(y\) направим вдоль \(DC\). Ось \(z\) направим вдоль \(DD_1\). 2. Определим координаты вершин призмы. Сторона основания \(a = 4\sqrt{2}\). Высота призмы \(h = 4\). Координаты точек: \(D = (0, 0, 0)\) \(A = (4\sqrt{2}, 0, 0)\) \(C = (0, 4\sqrt{2}, 0)\) \(D_1 = (0, 0, 4)\) \(A_1 = (4\sqrt{2}, 0, 4)\) \(C_1 = (0, 4\sqrt{2}, 4)\) 3. Найдем координаты точки \(L\). Точка \(L\) — середина ребра \(CC_1\). Координаты \(C = (0, 4\sqrt{2}, 0)\) Координаты \(C_1 = (0, 4\sqrt{2}, 4)\) Координаты \(L = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{4\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (0, 4\sqrt{2}, 2)\) 4. Найдем уравнение плоскости \(DA_1C_1\). Плоскость проходит через точки \(D(0, 0, 0)\), \(A_1(4\sqrt{2}, 0, 4)\), \(C_1(0, 4\sqrt{2}, 4)\). Общее уравнение плоскости: \(Ax + By + Cz + D = 0\). Так как плоскость проходит через начало координат \(D(0, 0, 0)\), то \(D = 0\). Уравнение плоскости имеет вид: \(Ax + By + Cz = 0\). Подставим координаты точки \(A_1\): \(A(4\sqrt{2}) + B(0) + C(4) = 0\) \(4\sqrt{2}A + 4C = 0\) Разделим на 4: \(\sqrt{2}A + C = 0 \Rightarrow C = -\sqrt{2}A\) Подставим координаты точки \(C_1\): \(A(0) + B(4\sqrt{2}) + C(4) = 0\) \(4\sqrt{2}B + 4C = 0\) Разделим на 4: \(\sqrt{2}B + C = 0 \Rightarrow C = -\sqrt{2}B\) Из этих двух уравнений следует, что \(-\sqrt{2}A = -\sqrt{2}B\), то есть \(A = B\). Пусть \(A = 1\). Тогда \(B = 1\), а \(C = -\sqrt{2}\). Уравнение плоскости \(DA_1C_1\): \(x + y - \sqrt{2}z = 0\). 5. Найдем расстояние от точки \(L(0, 4\sqrt{2}, 2)\) до плоскости \(x + y - \sqrt{2}z = 0\). Формула расстояния от точки \((x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\): \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\] В нашем случае: \(x_0 = 0\), \(y_0 = 4\sqrt{2}\), \(z_0 = 2\) \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = -\sqrt{2}\), \(D = 0\) \[d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 4\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-\sqrt{2})^2}}\] \[d = \frac{|0 + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}|}{\sqrt{1 + 1 + 2}}\] \[d = \frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{4}}\] \[d = \frac{2\sqrt{2}}{2}\] \[d = \sqrt{2}\] 6. В ответ запишите квадрат полученного расстояния. Квадрат расстояния \(d^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\). Ответ: 2