Задача: Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 15, произведение цифр которого равно 120.
Решение:
Чтобы число было кратно 15, оно должно быть кратно 3 и 5 одновременно.
1. Признак делимости на 5: Число должно оканчиваться на 0 или 5. Поскольку произведение цифр равно 120 (не равно 0), ни одна из цифр не может быть 0. Значит, последняя цифра числа должна быть 5.
2. Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна быть кратна 3.
3. Разложим 120 на множители: Нам нужно найти 5 цифр, произведение которых равно 120. Одна из цифр уже известна — это 5.
Значит, произведение оставшихся четырех цифр должно быть равно \(120 \div 5 = 24\).
4. Ищем четыре цифры, произведение которых равно 24. Чтобы число было наименьшим, нужно, чтобы старшие разряды были как можно меньше, а младшие — как можно больше. Также цифры должны быть расположены в порядке возрастания (или неубывания) для наименьшего числа.
Возможные наборы четырех цифр, произведение которых равно 24 (без учета порядка):
- 1, 1, 3, 8 (1 * 1 * 3 * 8 = 24)
- 1, 1, 4, 6 (1 * 1 * 4 * 6 = 24)
- 1, 2, 2, 6 (1 * 2 * 2 * 6 = 24)
- 1, 2, 3, 4 (1 * 2 * 3 * 4 = 24)
- 2, 2, 3, 2 (2 * 2 * 3 * 2 = 24) - это то же самое, что 2, 2, 2, 3
Рассмотрим эти наборы вместе с цифрой 5 (которая будет последней) и проверим сумму цифр на делимость на 3.
Набор 1: Цифры 1, 1, 3, 8, 5.
Сумма цифр: \(1 + 1 + 3 + 8 + 5 = 18\). Число 18 кратно 3. Значит, из этих цифр можно составить искомое число.
Чтобы получить наименьшее пятизначное число, нужно расположить цифры в порядке возрастания, а 5 поставить в конец. Цифры: 1, 1, 3, 8, 5. Наименьшее число: 11385.
Набор 2: Цифры 1, 1, 4, 6, 5.
Сумма цифр: \(1 + 1 + 4 + 6 + 5 = 17\). Число 17 не кратно 3. Этот набор не подходит.
Набор 3: Цифры 1, 2, 2, 6, 5.
Сумма цифр: \(1 + 2 + 2 + 6 + 5 = 16\). Число 16 не кратно 3. Этот набор не подходит.
Набор 4: Цифры 1, 2, 3, 4, 5.
Сумма цифр: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\). Число 15 кратно 3. Значит, из этих цифр можно составить искомое число.
Чтобы получить наименьшее пятизначное число, нужно расположить цифры в порядке возрастания, а 5 поставить в конец. Цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Наименьшее число: 12345.
Набор 5: Цифры 2, 2, 2, 3, 5.
Сумма цифр: \(2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14\). Число 14 не кратно 3. Этот набор не подходит.
Сравниваем наименьшие числа, полученные из подходящих наборов:
- Из набора (1, 1, 3, 8, 5) получаем число 11385.
- Из набора (1, 2, 3, 4, 5) получаем число 12345.
Наименьшее из этих чисел — 11385.
Проверка:
- Число 11385 пятизначное.
- Оканчивается на 5, значит, кратно 5.
- Сумма цифр \(1 + 1 + 3 + 8 + 5 = 18\), кратно 3. Значит, число 11385 кратно 3.
- Так как 11385 кратно 3 и 5, оно кратно 15.
- Произведение цифр \(1 \times 1 \times 3 \times 8 \times 5 = 120\).
Все условия выполнены.
Ответ: 11385