Решение:

Решим логарифмическое неравенство: \[ \log_{0,2}(x - 3) + \log_{0,2}(x + 1) \ge -1 \] Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического неравенства. Для того чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть строго положительными: 1. \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \) 2. \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \) Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: \( x > 3 \). Шаг 2: Применим свойство суммы логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \). \[ \log_{0,2}((x - 3)(x + 1)) \ge -1 \] Шаг 3: Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 0,2. Мы знаем, что \( \log_a a^b = b \). Значит, \( -1 = \log_{0,2} (0,2)^{-1} \). \[ (0,2)^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \] Таким образом, \( -1 = \log_{0,2} 5 \). Неравенство принимает вид: \[ \log_{0,2}((x - 3)(x + 1)) \ge \log_{0,2} 5 \] Шаг 4: Перейдем от логарифмического неравенства к алгебраическому. Основание логарифма \( 0,2 \) находится в интервале \( (0; 1) \). Это означает, что функция \( y = \log_{0,2} x \) является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. \[ (x - 3)(x + 1) \le 5 \] Шаг 5: Решим полученное квадратное неравенство. \[ x^2 + x - 3x - 3 \le 5 \] \[ x^2 - 2x - 3 \le 5 \] \[ x^2 - 2x - 8 \le 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) \( x_1 \cdot x_2 = -8 \) Корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 4 \). Так как парабола \( y = x^2 - 2x - 8 \) направлена ветвями вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0), то неравенство \( x^2 - 2x - 8 \le 0 \) выполняется между корнями. Значит, \( -2 \le x \le 4 \). Шаг 6: Объединим решение неравенства с ОДЗ. Решение неравенства: \( x \in [-2; 4] \). ОДЗ: \( x \in (3; +\infty) \). Найдем пересечение этих двух интервалов: \( [-2; 4] \cap (3; +\infty) = (3; 4] \). Таким образом, решением неравенства является интервал \( (3; 4] \). Среди предложенных вариантов ответов: 1. \( [-4; 2] \) 2. \( [-2; 4] \) 3. \( (3; 4] \) 4. \( [-2; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; 4] \) Верный ответ: \( (3; 4] \).