Решение показательного неравенства
Нам дано неравенство:
\[ \left(5^{x+2}\right)^{x-2} < \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 25^{x-1} \]Шаг 1: Упростим левую часть неравенства.
Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
\[ \left(5^{x+2}\right)^{x-2} = 5^{(x+2)(x-2)} \]Применим формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
\[ (x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4 \]Таким образом, левая часть становится:
\[ 5^{x^2 - 4} \]Шаг 2: Упростим правую часть неравенства.
Переведем все основания к числу 5. Заметим, что \(\frac{1}{5} = 5^{-1}\) и \(25 = 5^2\).
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 25^{x-1} = (5^{-1})^x \cdot (5^2)^{x-1} \]Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
\[ 5^{-1 \cdot x} \cdot 5^{2 \cdot (x-1)} = 5^{-x} \cdot 5^{2x - 2} \]Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\[ 5^{-x} \cdot 5^{2x - 2} = 5^{-x + (2x - 2)} = 5^{-x + 2x - 2} = 5^{x - 2} \]Таким образом, правая часть становится:
\[ 5^{x - 2} \]Шаг 3: Запишем упрощенное неравенство.
Теперь неравенство выглядит так:
\[ 5^{x^2 - 4} < 5^{x - 2} \]Шаг 4: Решим неравенство, используя свойство показательной функции.
Поскольку основание степени \(5 > 1\), то показательная функция \(y = 5^t\) является возрастающей. Это означает, что если \(5^A < 5^B\), то \(A < B\).
Приравниваем показатели степеней:
\[ x^2 - 4 < x - 2 \]Шаг 5: Решим полученное квадратное неравенство.
Перенесем все члены в левую часть:
\[ x^2 - x - 4 + 2 < 0 \] \[ x^2 - x - 2 < 0 \]Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\).
Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]Корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]Так как это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\)), то неравенство \(x^2 - x - 2 < 0\) выполняется между корнями.
То есть, решение неравенства:
\[ -1 < x < 2 \]Шаг 6: Найдем количество целых решений.
Целые числа, которые удовлетворяют условию \(-1 < x < 2\), это:
\(x = 0\)
\(x = 1\)
Всего 2 целых решения.
Ответ: Количество целых решений равно 2.