Задача: Найдите множество значений функции \(f(x) = 10 - 5 \sin^2 5x\).
Решение:
1. Вспомним, что для любой тригонометрической функции синус, значение \(\sin \alpha\) находится в пределах от -1 до 1, то есть:
\[-1 \le \sin \alpha \le 1\]2. В нашей функции аргумент синуса равен \(5x\). Это не влияет на диапазон значений самого синуса, поэтому:
\[-1 \le \sin 5x \le 1\]3. Теперь рассмотрим \(\sin^2 5x\). Если мы возводим число в квадрат, то оно становится неотрицательным. Минимальное значение \(\sin 5x\) равно -1, а \((-1)^2 = 1\). Максимальное значение \(\sin 5x\) равно 1, а \(1^2 = 1\). Значение \(\sin 5x\) также может быть 0, и \(0^2 = 0\). Таким образом, квадрат синуса находится в пределах от 0 до 1:
\[0 \le \sin^2 5x \le 1\]4. Далее, в нашей функции есть множитель -5 перед \(\sin^2 5x\). Умножим все части неравенства на -5. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
\[0 \cdot (-5) \ge -5 \sin^2 5x \ge 1 \cdot (-5)\] \[0 \ge -5 \sin^2 5x \ge -5\]5. Перепишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего к большему:
\[-5 \le -5 \sin^2 5x \le 0\]6. Наконец, добавим 10 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для \(f(x)\):
\[-5 + 10 \le 10 - 5 \sin^2 5x \le 0 + 10\] \[5 \le 10 - 5 \sin^2 5x \le 10\]7. Таким образом, множество значений функции \(f(x)\) находится в интервале от 5 до 10 включительно.
Ответ:
Множество значений функции \(E_f = [5; 10]\).