Решение показательного уравнения 0.2^(2x-2) - 26 * 0.2^x + 1 = 0

Решим показательное уравнение. Условие: Решите уравнение \(0,2^{2x-2} - 26 \cdot 0,2^x + 1 = 0\). Решение: 1. Преобразуем первый член уравнения, используя свойство степеней \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\): \(0,2^{2x-2} = \frac{0,2^{2x}}{0,2^2}\). Так как \(0,2^2 = (0,2) \cdot (0,2) = 0,04\), то \(0,2^{2x-2} = \frac{(0,2^x)^2}{0,04}\). 2. Подставим это выражение обратно в уравнение: \[\frac{(0,2^x)^2}{0,04} - 26 \cdot 0,2^x + 1 = 0\] 3. Введем замену переменной. Пусть \(t = 0,2^x\). Важно отметить, что \(t\) должно быть строго больше нуля, так как \(0,2^x > 0\) для любого действительного \(x\). Тогда уравнение примет вид: \[\frac{t^2}{0,04} - 26t + 1 = 0\] 4. Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на \(0,04\): \[t^2 - 26 \cdot 0,04t + 1 \cdot 0,04 = 0\] \[t^2 - 1,04t + 0,04 = 0\] 5. Получили квадратное уравнение относительно \(t\). Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a=1\), \(b=-1,04\), \(c=0,04\). \[D = (-1,04)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,04\] \[D = 1,0816 - 0,16\] \[D = 0,9216\] 6. Найдем корни \(t\) по формуле \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \[t_1 = \frac{-(-1,04) + \sqrt{0,9216}}{2 \cdot 1}\] \[t_2 = \frac{-(-1,04) - \sqrt{0,9216}}{2 \cdot 1}\] Вычислим \(\sqrt{0,9216}\). \(\sqrt{0,9216} = 0,96\). Теперь найдем \(t_1\) и \(t_2\): \[t_1 = \frac{1,04 + 0,96}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[t_2 = \frac{1,04 - 0,96}{2} = \frac{0,08}{2} = 0,04\] 7. Оба корня \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 0,04\) положительны, поэтому они подходят для обратной замены. 8. Выполним обратную замену \(t = 0,2^x\): Случай 1: \(t_1 = 1\) \[0,2^x = 1\] Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0 в степени 0). Значит, \(x = 0\). Случай 2: \(t_2 = 0,04\) \[0,2^x = 0,04\] Заметим, что \(0,04 = (0,2)^2\). Значит, \(0,2^x = 0,2^2\). Отсюда, \(x = 2\). 9. Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2\). Ответ: Корни уравнения: \(0\), \(2\).