Область определения логарифмической функции y = log_(x-3)(7 - x)

Вот решение задачи с подробным объяснением, которое будет удобно переписать в тетрадь. Логарифмическая функция Найдите область определения функции \(y = \log_{x-3}(7 - x)\). Решение: Для того чтобы логарифмическая функция \(y = \log_a b\) была определена, должны выполняться следующие условия: 1. Основание логарифма должно быть строго больше нуля: \(a > 0\). 2. Основание логарифма не должно быть равно единице: \(a \neq 1\). 3. Выражение под логарифмом (аргумент логарифма) должно быть строго больше нуля: \(b > 0\). Применим эти условия к нашей функции \(y = \log_{x-3}(7 - x)\). 1. Основание логарифма \(x - 3\) должно быть строго больше нуля: \(x - 3 > 0\) \(x > 3\) 2. Основание логарифма \(x - 3\) не должно быть равно единице: \(x - 3 \neq 1\) \(x \neq 1 + 3\) \(x \neq 4\) 3. Выражение под логарифмом \(7 - x\) должно быть строго больше нуля: \(7 - x > 0\) \(-x > -7\) При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \(x < 7\) Теперь объединим все полученные условия: \(x > 3\) \(x \neq 4\) \(x < 7\) Это означает, что \(x\) должен быть больше 3, но меньше 7, и при этом \(x\) не должен быть равен 4. Запишем это в виде интервалов: Интервал \((3; 7)\) включает все числа от 3 до 7, не включая сами 3 и 7. Из этого интервала нужно исключить число 4. Таким образом, область определения функции будет объединением двух интервалов: От 3 до 4 (не включая 3 и 4) и от 4 до 7 (не включая 4 и 7). Это записывается как \((3; 4) \cup (4; 7)\). Сравним наш результат с предложенными вариантами ответов: * \((3; +\infty)\) - не подходит, так как \(x\) должен быть меньше 7. * \((3; 4) \cup (4; 6) \cup (6; 7)\) - не подходит, так как нет условия \(x \neq 6\). * \((3; 4) \cup (4; 7)\) - подходит. * \((-\infty; 7)\) - не подходит, так как \(x\) должен быть больше 3. * \((3; 7)\) - не подходит, так как \(x\) не должен быть равен 4. Правильный ответ: \((3; 4) \cup (4; 7)\).