Решение логарифмического уравнения: lg 4 - lg x = log₁₀₀ 4 - log₀.₁ (x + 1)

Вот решение логарифмического уравнения, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Логарифмическое уравнение Решите уравнение: \( \lg 4 - \lg x = \log_{100} 4 - \log_{0,1} (x + 1) \) Решение: Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля: 1. \( x > 0 \) 2. \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \) Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: \( x > 0 \). Теперь преобразуем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 10 (десятичный логарифм, обозначаемый как \( \lg \)). Вспомним формулы перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) И свойство логарифма: \( \log_a b^k = k \log_a b \) Преобразуем \( \log_{100} 4 \): \( \log_{100} 4 = \log_{10^2} 4 = \frac{1}{2} \log_{10} 4 = \frac{1}{2} \lg 4 \) Преобразуем \( \log_{0,1} (x + 1) \): \( \log_{0,1} (x + 1) = \log_{10^{-1}} (x + 1) = \frac{1}{-1} \log_{10} (x + 1) = - \lg (x + 1) \) Теперь подставим эти преобразованные выражения обратно в исходное уравнение: \( \lg 4 - \lg x = \frac{1}{2} \lg 4 - (- \lg (x + 1)) \) \( \lg 4 - \lg x = \frac{1}{2} \lg 4 + \lg (x + 1) \) Перенесем все члены с логарифмами в одну сторону, а константы в другую, или сгруппируем их. Давайте перенесем \( \frac{1}{2} \lg 4 \) влево и \( \lg x \) вправо: \( \lg 4 - \frac{1}{2} \lg 4 = \lg x + \lg (x + 1) \) \( \frac{1}{2} \lg 4 = \lg (x \cdot (x + 1)) \) Теперь используем свойство логарифма \( k \log_a b = \log_a b^k \): \( \lg 4^{\frac{1}{2}} = \lg (x^2 + x) \) \( \lg \sqrt{4} = \lg (x^2 + x) \) \( \lg 2 = \lg (x^2 + x) \) Так как логарифмы равны и имеют одинаковое основание, то их аргументы также должны быть равны: \( 2 = x^2 + x \) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + x - 2 = 0 \) Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. По теореме Виета: Сумма корней \( x_1 + x_2 = -1 \) Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = -2 \) Подбираем числа: \( 2 \cdot (-1) = -2 \) и \( 2 + (-1) = 1 \). Значит, корни \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \). Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( x > 0 \). 1. \( x_1 = -2 \). Этот корень не удовлетворяет условию \( x > 0 \), поэтому он не является решением уравнения. 2. \( x_2 = 1 \). Этот корень удовлетворяет условию \( x > 0 \), поэтому он является решением уравнения. Ответ: \( x = 1 \)