Решение задачи о делимости и её свойствах

Вот решение задачи с объяснениями, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Верные высказывания о делимости и её свойствах. Выберите верные утверждения. 1. Если натуральное число делится на 9, то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 9. * Это утверждение неверно. * Пример: Пусть первое число равно 9 (оно делится на 9). Пусть второе число равно 1 (оно не делится на 9). * Их сумма: \(9 + 1 = 10\). Число 10 не делится на 9. * Для того чтобы сумма двух чисел делилась на 9, оба числа должны делиться на 9, или их сумма должна быть кратна 9. 2. Если одно натуральное число делится на 5, а другое натуральное число делится на 2, то их произведение делится на 30. * Это утверждение верно. * Пусть первое число \(a\) делится на 5. Это значит, что \(a = 5 \cdot x\), где \(x\) — натуральное число. * Пусть второе число \(b\) делится на 2. Это значит, что \(b = 2 \cdot y\), где \(y\) — натуральное число. * Их произведение: \(a \cdot b = (5 \cdot x) \cdot (2 \cdot y) = 10 \cdot x \cdot y\). * Так как произведение \(a \cdot b\) содержит множитель 10, оно делится на 10. * Но нам нужно, чтобы оно делилось на 30. * Для того чтобы произведение делилось на 30, оно должно делиться на 2, на 3 и на 5. * Мы знаем, что \(a \cdot b\) делится на 2 (так как \(b\) делится на 2) и на 5 (так как \(a\) делится на 5). * Однако, мы не можем гарантировать, что \(a \cdot b\) делится на 3. * Пример: Пусть \(a = 5\) (делится на 5). Пусть \(b = 2\) (делится на 2). * Их произведение: \(a \cdot b = 5 \cdot 2 = 10\). Число 10 не делится на 30. * Значит, это утверждение неверно. 3. Если натуральное число \(k\) не делится на 18, то \(5k\) не делится на 18. * Это утверждение неверно. * Пример: Пусть \(k = 6\). Число 6 не делится на 18. * Тогда \(5k = 5 \cdot 6 = 30\). Число 30 не делится на 18. В этом случае утверждение верно. * Но рассмотрим другой пример: Пусть \(k = 12\). Число 12 не делится на 18. * Тогда \(5k = 5 \cdot 12 = 60\). Число 60 не делится на 18. В этом случае утверждение верно. * Рассмотрим ещё один пример: Пусть \(k = 18\). Число 18 делится на 18. Тогда \(5k = 5 \cdot 18 = 90\). Число 90 делится на 18. * Утверждение гласит: "Если \(k\) не делится на 18". * Рассмотрим \(k = 18 / 2 = 9\). Число 9 не делится на 18. * Тогда \(5k = 5 \cdot 9 = 45\). Число 45 не делится на 18. * Рассмотрим \(k = 18 / 3 = 6\). Число 6 не делится на 18. * Тогда \(5k = 5 \cdot 6 = 30\). Число 30 не делится на 18. * Рассмотрим \(k = 18 / 6 = 3\). Число 3 не делится на 18. * Тогда \(5k = 5 \cdot 3 = 15\). Число 15 не делится на 18. * Это утверждение верно, если 5 и 18 являются взаимно простыми числами. * Числа 5 и 18 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1. * Если \(k\) не делится на 18, то это означает, что в разложении \(k\) на простые множители не хватает множителей 2 и 3 в нужной степени, чтобы получить 18. * Если \(5k\) делится на 18, то \(5k = 18 \cdot x\) для некоторого натурального числа \(x\). * Так как 5 и 18 взаимно просты, то \(k\) должно делиться на 18. * Но по условию \(k\) не делится на 18. * Значит, если \(k\) не делится на 18, то \(5k\) не может делиться на 18. * Следовательно, это утверждение верно. 4. Если \(23m\) делится на 3, то \(m\) делится на 3 (\(m\) — натуральное число). * Это утверждение верно. * Мы знаем, что 23 — простое число, и оно не делится на 3. * Если произведение двух чисел делится на простое число, и один из множителей не делится на это простое число, то другой множитель обязательно должен делиться на это простое число. * В данном случае, произведение \(23m\) делится на 3. Множитель 23 не делится на 3. * Следовательно, множитель \(m\) должен делиться на 3. * Это свойство делимости называется леммой Евклида. * Значит, это утверждение верно. Итак, верные утверждения: * Если натуральное число \(k\) не делится на 18, то \(5k\) не делится на 18. * Если \(23m\) делится на 3, то \(m\) делится на 3 (\(m\) — натуральное число). Ответ: Верные утверждения: 3. Если натуральное число \(k\) не делится на 18, то \(5k\) не делится на 18. 4. Если \(23m\) делится на 3, то \(m\) делится на 3 (\(m\) — натуральное число).