Свойства тригонометрических функций
Какая из тригонометрических функций убывает на всём промежутке \([22\pi; 23\pi]\)?
Решение:
Для того чтобы определить, какая из функций убывает на заданном промежутке, вспомним свойства каждой из предложенных тригонометрических функций.
1. Функция \(y = \cos(x)\):
- Функция косинуса имеет период \(2\pi\).
- Промежуток \([22\pi; 23\pi]\) можно представить как \([11 \cdot 2\pi; 11 \cdot 2\pi + \pi]\).
- Это соответствует промежутку \([0; \pi]\) для одного периода.
- На промежутке \([0; \pi]\) функция \(y = \cos(x)\) убывает (от 1 до -1).
- Следовательно, на промежутке \([22\pi; 23\pi]\) функция \(y = \cos(x)\) также убывает.
2. Функция \(y = \sin(x)\):
- Функция синуса имеет период \(2\pi\).
- Промежуток \([22\pi; 23\pi]\) соответствует промежутку \([0; \pi]\) для одного периода.
- На промежутке \([0; \pi]\) функция \(y = \sin(x)\) сначала возрастает (от 0 до 1 на \([0; \pi/2]\)), а затем убывает (от 1 до 0 на \([\pi/2; \pi]\)).
- Таким образом, на всём промежутке \([22\pi; 23\pi]\) функция \(y = \sin(x)\) не является монотонно убывающей.
3. Функция \(y = \text{ctg}(x)\):
- Функция котангенса имеет период \(\pi\).
- Промежуток \([22\pi; 23\pi]\) можно представить как \([22\pi; 22\pi + \pi]\).
- Это соответствует промежутку \((0; \pi)\) для одного периода (с учетом того, что в точках \(k\pi\) функция не определена).
- На любом промежутке \((k\pi; (k+1)\pi)\) функция \(y = \text{ctg}(x)\) убывает.
- Промежуток \([22\pi; 23\pi]\) включает точки \(22\pi\) и \(23\pi\), в которых функция котангенса не определена. Однако, если рассматривать открытый промежуток \((22\pi; 23\pi)\), то на нём функция убывает. В контексте школьных задач, если не указано иное, обычно подразумевается, что функция должна быть определена на всём промежутке. Но даже если рассматривать открытый интервал, функция котангенса убывает.
4. Функция \(y = \text{tg}(x)\):
- Функция тангенса имеет период \(\pi\).
- Промежуток \([22\pi; 23\pi]\) соответствует промежутку \([0; \pi]\) для одного периода.
- На промежутке \((k\pi - \pi/2; k\pi + \pi/2)\) функция \(y = \text{tg}(x)\) возрастает.
- Промежуток \([22\pi; 23\pi]\) включает в себя точки, где функция тангенса не определена (например, \(22\pi + \pi/2 = 22.5\pi\)). На промежутке \((22\pi; 22.5\pi)\) функция возрастает, а на \((22.5\pi; 23\pi)\) также возрастает.
- Таким образом, функция \(y = \text{tg}(x)\) не убывает на данном промежутке.
Сравнение:
Функция \(y = \cos(x)\) убывает на промежутке \([22\pi; 23\pi]\), так как этот промежуток соответствует промежутку \([0; \pi]\) для одного периода косинуса, на котором косинус убывает.
Функция \(y = \text{ctg}(x)\) также убывает на промежутке \((22\pi; 23\pi)\). Однако, в отличие от косинуса, она не определена в граничных точках \(22\pi\) и \(23\pi\). Если вопрос подразумевает убывание на замкнутом промежутке \([22\pi; 23\pi]\), то котангенс не подходит.
В большинстве стандартных задач, когда говорят об убывании на замкнутом промежутке, подразумевается, что функция должна быть определена и непрерывна на этом промежутке. Функция косинуса удовлетворяет этим условиям.
Вывод:
Единственная функция из предложенных, которая убывает на всём промежутке \([22\pi; 23\pi]\) и определена на нём, это \(y = \cos(x)\).
Ответ: \(y = \cos(x)\)