Задача: С графиком какой из нижеперечисленных функций совпадает график функции \(y = \cos x\)?
Варианты ответов:
- \(y = \cos \left(-\frac{\pi}{2} - x\right)\)
- \(y = \sin x\)
- \(y = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\)
- \(y = \sin(x + \pi)\)
Решение:
Для того чтобы определить, график какой функции совпадает с графиком функции \(y = \cos x\), нужно преобразовать каждый из предложенных вариантов, используя тригонометрические формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.
Рассмотрим каждый вариант по очереди:
1. Вариант: \(y = \cos \left(-\frac{\pi}{2} - x\right)\)
Используем свойство четности косинуса: \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\).
Тогда \(\cos \left(-\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos \left(\left(-\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\).
Теперь используем формулу приведения: \(\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha\).
Значит, \(\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\).
Таким образом, \(y = -\sin x\). Это не совпадает с \(y = \cos x\).
2. Вариант: \(y = \sin x\)
График функции \(y = \sin x\) не совпадает с графиком функции \(y = \cos x\). Они сдвинуты друг относительно друга на \(\frac{\pi}{2}\).
3. Вариант: \(y = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\)
Используем формулу приведения: \(\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha\).
Значит, \(\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\).
Таким образом, \(y = \cos x\). Этот вариант совпадает с исходной функцией.
4. Вариант: \(y = \sin(x + \pi)\)
Используем формулу приведения: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha\).
Значит, \(\sin(x + \pi) = -\sin x\).
Таким образом, \(y = -\sin x\). Это не совпадает с \(y = \cos x\).
Вывод:
Только функция \(y = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) после преобразования становится равной \(y = \cos x\).
Ответ: График функции \(y = \cos x\) совпадает с графиком функции \(y = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\).