Сравните числа, используя свойства возрастания и убывания функции \(y = \cos x\).
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить, как ведет себя функция косинуса на разных интервалах.
- Функция \(y = \cos x\) убывает на интервалах вида \([2\pi k; \pi + 2\pi k]\), где \(k\) – любое целое число.
- Функция \(y = \cos x\) возрастает на интервалах вида \([\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]\), где \(k\) – любое целое число.
Также полезно помнить, что \(\cos(-x) = \cos x\).
1) Сравнить \(\cos \frac{12\pi}{13}\) и \(\cos \frac{\pi}{19}\)
Сначала определим, в каких четвертях находятся углы \(\frac{12\pi}{13}\) и \(\frac{\pi}{19}\).
- Угол \(\frac{12\pi}{13}\):
Так как \(0 < \frac{12}{13} < 1\), то \(0 < \frac{12\pi}{13} < \pi\).
Более точно, \(\frac{12\pi}{13}\) находится во второй четверти, так как \(\frac{\pi}{2} < \frac{12\pi}{13} < \pi\).
(Потому что \(\frac{1}{2} = \frac{6.5}{13}\), а \(\frac{12}{13} > \frac{6.5}{13}\)).
Например, \(\frac{12\pi}{13} \approx 0.92\pi\). - Угол \(\frac{\pi}{19}\):
Так как \(0 < \frac{1}{19} < \frac{1}{2}\), то \(0 < \frac{\pi}{19} < \frac{\pi}{2}\).
Угол \(\frac{\pi}{19}\) находится в первой четверти.
Например, \(\frac{\pi}{19} \approx 0.05\pi\).
Чтобы сравнить значения косинуса, удобно привести углы к одному интервалу, где функция монотонна.
Заметим, что \(\frac{12\pi}{13} = \pi - \frac{\pi}{13}\).
Тогда \(\cos \frac{12\pi}{13} = \cos (\pi - \frac{\pi}{13})\).
По формулам приведения \(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha\).
Значит, \(\cos \frac{12\pi}{13} = -\cos \frac{\pi}{13}\).
Теперь нам нужно сравнить \(-\cos \frac{\pi}{13}\) и \(\cos \frac{\pi}{19}\).
Углы \(\frac{\pi}{13}\) и \(\frac{\pi}{19}\) оба находятся в первой четверти, так как \(0 < \frac{\pi}{19} < \frac{\pi}{13} < \frac{\pi}{2}\).
На интервале \([0; \pi]\) функция \(y = \cos x\) убывает.
Так как \(0 < \frac{\pi}{19} < \frac{\pi}{13} < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos \frac{\pi}{19} > \cos \frac{\pi}{13}\).
Мы знаем, что \(\cos \frac{\pi}{13}\) и \(\cos \frac{\pi}{19}\) оба положительны, так как углы находятся в первой четверти.
Значит, \(-\cos \frac{\pi}{13}\) будет отрицательным числом.
Поскольку \(\cos \frac{\pi}{19}\) положительно, а \(-\cos \frac{\pi}{13}\) отрицательно, то очевидно, что отрицательное число меньше положительного.
Следовательно, \(-\cos \frac{\pi}{13} < \cos \frac{\pi}{19}\).
Таким образом, \(\cos \frac{12\pi}{13} < \cos \frac{\pi}{19}\).
Ответ: \(\cos \frac{12\pi}{13} < \cos \frac{\pi}{19}\)
2) Сравнить \(\cos \left(-\frac{19\pi}{20}\right)\) и \(\cos \left(-\frac{2\pi}{19}\right)\)
Используем свойство четности функции косинуса: \(\cos(-x) = \cos x\).
Тогда \(\cos \left(-\frac{19\pi}{20}\right) = \cos \frac{19\pi}{20}\) и \(\cos \left(-\frac{2\pi}{19}\right) = \cos \frac{2\pi}{19}\).
Теперь нам нужно сравнить \(\cos \frac{19\pi}{20}\) и \(\cos \frac{2\pi}{19}\).
Определим, в каких четвертях находятся углы \(\frac{19\pi}{20}\) и \(\frac{2\pi}{19}\).
- Угол \(\frac{19\pi}{20}\):
Так как \(0 < \frac{19}{20} < 1\), то \(0 < \frac{19\pi}{20} < \pi\).
Более точно, \(\frac{19\pi}{20}\) находится во второй четверти, так как \(\frac{\pi}{2} < \frac{19\pi}{20} < \pi\).
(Потому что \(\frac{1}{2} = \frac{10}{20}\), а \(\frac{19}{20} > \frac{10}{20}\)).
Например, \(\frac{19\pi}{20} \approx 0.95\pi\). - Угол \(\frac{2\pi}{19}\):
Так как \(0 < \frac{2}{19} < \frac{1}{2}\), то \(0 < \frac{2\pi}{19} < \frac{\pi}{2}\).
Угол \(\frac{2\pi}{19}\) находится в первой четверти.
Например, \(\frac{2\pi}{19} \approx 0.105\pi\).
Аналогично первому пункту, \(\cos \frac{19\pi}{20}\) будет отрицательным, а \(\cos \frac{2\pi}{19}\) будет положительным.
Поскольку \(\frac{19\pi}{20}\) находится во второй четверти, \(\cos \frac{19\pi}{20} < 0\).
Поскольку \(\frac{2\pi}{19}\) находится в первой четверти, \(\cos \frac{2\pi}{19} > 0\).
Отрицательное число всегда меньше положительного.
Следовательно, \(\cos \frac{19\pi}{20} < \cos \frac{2\pi}{19}\).
Таким образом, \(\cos \left(-\frac{19\pi}{20}\right) < \cos \left(-\frac{2\pi}{19}\right)\).
Ответ: \(\cos \left(-\frac{19\pi}{20}\right) < \cos \left(-\frac{2\pi}{19}\right)\)
3) Сравнить \(\cos \frac{13\pi}{2}\) и \(\cos \frac{3\pi}{2}\)
Сначала упростим угол \(\frac{13\pi}{2}\).
\(\frac{13\pi}{2} = \frac{12\pi + \pi}{2} = \frac{12\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2}\).
Так как функция косинуса имеет период \(2\pi\), то \(\cos(x + 2\pi k) = \cos x\), где \(k\) – целое число.
В нашем случае \(6\pi = 3 \cdot 2\pi\), поэтому \(\cos \left(6\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2}\).
Мы знаем, что \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\).
Теперь рассмотрим второй угол \(\frac{3\pi}{2}\).
Мы знаем, что \(\cos \frac{3\pi}{2} = 0\).
Таким образом, \(\cos \frac{13\pi}{2} = 0\) и \(\cos \frac{3\pi}{2} = 0\).
Следовательно, эти значения равны.
Ответ: \(\cos \frac{13\pi}{2} = \cos \frac{3\pi}{2}\)