Тема: Сравнение тангенсов с использованием свойств монотонности функции \(y = \text{tg}x\).
Вспомним:
Функция \(y = \text{tg}x\) является возрастающей на интервалах вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)\), где \(k\) — любое целое число.
Это означает, что если \(x_1 < x_2\) и оба \(x_1, x_2\) принадлежат одному интервалу возрастания, то \(\text{tg}x_1 < \text{tg}x_2\).
Также помним, что \(\text{tg}(-x) = -\text{tg}x\).
И \(\text{tg}(x + \pi k) = \text{tg}x\) для любого целого \(k\).
Задание 1: Сравнить \(\text{tg}\frac{2\pi}{13}\) и \(\text{tg}\frac{2\pi}{9}\).
Решение:
1. Определим, к какому интервалу возрастания принадлежат аргументы.
\(\frac{2\pi}{13}\) и \(\frac{2\pi}{9}\) — это положительные углы.
\(\frac{2\pi}{13} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{13} \approx \frac{6.28}{13} \approx 0.48\) радиан.
\(\frac{2\pi}{9} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{9} \approx \frac{6.28}{9} \approx 0.70\) радиан.
Оба угла находятся в интервале \(\left(0; \frac{\pi}{2}\right)\), который является частью интервала возрастания \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\).
2. Сравним аргументы:
Сравним дроби \(\frac{2}{13}\) и \(\frac{2}{9}\).
Так как знаменатель 13 больше знаменателя 9, то дробь \(\frac{2}{13}\) меньше дроби \(\frac{2}{9}\).
Значит, \(\frac{2\pi}{13} < \frac{2\pi}{9}\).
3. Используем свойство монотонности:
Поскольку функция \(y = \text{tg}x\) возрастает на интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\), и оба аргумента \(\frac{2\pi}{13}\) и \(\frac{2\pi}{9}\) находятся в этом интервале, то:
Если \(\frac{2\pi}{13} < \frac{2\pi}{9}\), то \(\text{tg}\frac{2\pi}{13} < \text{tg}\frac{2\pi}{9}\).
Ответ 1: \(\text{tg}\frac{2\pi}{13} < \text{tg}\frac{2\pi}{9}\).
Задание 2: Сравнить \(\text{tg}\left(-\frac{2\pi}{7}\right)\) и \(\text{tg}\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\).
Решение:
1. Определим, к какому интервалу возрастания принадлежат аргументы.
\(\frac{2\pi}{7} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{7} \approx \frac{6.28}{7} \approx 0.89\) радиан.
\(\frac{7\pi}{8} \approx \frac{7 \cdot 3.14}{8} \approx \frac{21.98}{8} \approx 2.75\) радиан.
Значит, \(\left(-\frac{2\pi}{7}\right) \approx -0.89\) радиан.
И \(\left(-\frac{7\pi}{8}\right) \approx -2.75\) радиан.
Интервал \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\) это \(\approx (-1.57; 1.57)\).
Угол \(\left(-\frac{2\pi}{7}\right)\) находится в интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\).
Угол \(\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\) не находится в интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\), так как \(-\frac{7\pi}{8} < -\frac{\pi}{2}\).
Мы знаем, что \(\text{tg}(x + \pi k) = \text{tg}x\).
Для \(\text{tg}\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\) прибавим \(\pi\):
\(\text{tg}\left(-\frac{7\pi}{8} + \pi\right) = \text{tg}\left(-\frac{7\pi}{8} + \frac{8\pi}{8}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
Теперь нам нужно сравнить \(\text{tg}\left(-\frac{2\pi}{7}\right)\) и \(\text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
Угол \(\left(-\frac{2\pi}{7}\right)\) отрицательный, а угол \(\left(\frac{\pi}{8}\right)\) положительный.
Так как \(\left(-\frac{2\pi}{7}\right) < 0\) и \(\left(\frac{\pi}{8}\right) > 0\), и оба угла находятся в интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\) (поскольку \(-\frac{\pi}{2} < -\frac{2\pi}{7} < 0\) и \(0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}\)), то:
\(\text{tg}\left(-\frac{2\pi}{7}\right) < \text{tg}\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
Следовательно, \(\text{tg}\left(-\frac{2\pi}{7}\right) < \text{tg}\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\).
Ответ 2: \(\text{tg}\left(-\frac{2\pi}{7}\right) < \text{tg}\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\).
Задание 3: Сравнить \(\text{tg}(-2\pi)\) и \(\text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\).
Решение:
1. Упростим аргументы, используя периодичность функции тангенс.
\(\text{tg}(-2\pi) = \text{tg}(0 - 2\pi) = \text{tg}(0) = 0\).
\(\text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\).
Угол \(\frac{2\pi}{3}\) находится во втором квадранте, где тангенс отрицателен.
\(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\).
\(\text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
Мы знаем, что \(\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\).
Значит, \(\text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\).
2. Сравним значения:
Нам нужно сравнить \(0\) и \(-\sqrt{3}\).
Так как \(0 > -\sqrt{3}\).
Следовательно, \(\text{tg}(-2\pi) > \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\).
Ответ 3: \(\text{tg}(-2\pi) > \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\).