Решение задачи: определение параметров колебаний по графику

Вот решения задач, оформленные так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь: 1. Запишите уравнение зависимости \(x(t)\), используя график. Решение: По графику видно, что это гармонические колебания. Общий вид уравнения гармонических колебаний: \[x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)\] или \[x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)\] Из графика определяем: Амплитуда \(A\): Максимальное отклонение от положения равновесия. По графику \(A = 2\) см. Период \(T\): Время одного полного колебания. По графику видно, что одно полное колебание завершается за \(T = 4\) с. Циклическая частота \(\omega\): Вычисляется по формуле \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). \[\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) рад/с.\] Начальная фаза \(\phi_0\): В момент времени \(t = 0\), координата \(x = 0\). При этом скорость положительна (график идет вверх). Это соответствует функции синуса без начальной фазы. То есть, если \(x(t) = A \sin(\omega t)\), то при \(t=0\), \(x(0) = A \sin(0) = 0\). Или, если \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)\), то при \(t=0\), \(x(0) = A \cos(\phi_0) = 0\). Это означает \(\phi_0 = \frac{\pi}{2}\) или \(\phi_0 = -\frac{\pi}{2}\). Так как скорость положительна, то \(\phi_0 = -\frac{\pi}{2}\). Однако, проще использовать синус, если колебания начинаются из положения равновесия. Таким образом, уравнение зависимости \(x(t)\) будет: \[x(t) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)\] где \(x\) в сантиметрах, \(t\) в секундах. Ответ: \(x(t) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)\) 2. Как изменится период колебаний математического маятника, если его длину увеличить в 4 раза, а массу груза уменьшить в 4 раза? А) увеличится в 2 раза Б) увеличится в 4 раза В) увеличится в 16 раз Г) не изменится Решение: Формула для периода колебаний математического маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] где \(L\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения. Из формулы видно, что период \(T\) зависит от длины маятника \(L\) и ускорения свободного падения \(g\). Он не зависит от массы груза. По условию: Длина маятника \(L\) увеличивается в 4 раза, то есть \(L' = 4L\). Масса груза уменьшается в 4 раза, но это не влияет на период. Подставим новую длину в формулу для периода: \[T' = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}}\] Вынесем \(\sqrt{4}\) из-под корня: \[T' = 2\pi \cdot 2 \sqrt{\frac{L}{g}}\] \[T' = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\right)\] Так как \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\), то: \[T' = 2T\] Период увеличится в 2 раза. Ответ: А) увеличится в 2 раза 3. Зависимость силы тока, протекающего в катушке контура, от времени имеет вид \(i = 1,5 \sin(200 \pi t)\). Амплитуда силы тока равна А) 200 А Б) \(200\pi\) А В) 1,5 А Г) 300 А Решение: Общий вид уравнения гармонических колебаний силы тока: \[i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)\] где \(I_m\) – амплитуда силы тока. По условию дано уравнение: \[i = 1,5 \sin(200 \pi t)\] Сравнивая это уравнение с общим видом, мы видим, что коэффициент перед функцией синуса – это амплитуда силы тока. В данном случае, \(I_m = 1,5\) А. Ответ: В) 1,5 А 4. Как изменилась емкость конденсатора колебательного контура, если период колебаний увеличился в 2 раза? Индуктивность не менялась. А) увеличилась в 2 раза Б) уменьшилась в 2 раза В) увеличилась в 4 раза Г) уменьшилась в 4 раза Решение: Формула Томсона для периода колебаний в колебательном контуре: \[T = 2\pi \sqrt{LC}\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – емкость конденсатора. По условию: Период колебаний \(T\) увеличился в 2 раза, то есть \(T' = 2T\). Индуктивность \(L\) не менялась. Запишем формулу для нового периода \(T'\): \[T' = 2\pi \sqrt{LC'}\] Подставим \(T' = 2T\): \[2T = 2\pi \sqrt{LC'}\] Мы знаем, что \(T = 2\pi \sqrt{LC}\). Подставим это в уравнение: \[2 \cdot (2\pi \sqrt{LC}) = 2\pi \sqrt{LC'}\] Сократим \(2\pi\) с обеих сторон: \[2 \sqrt{LC} = \sqrt{LC'}\] Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[(2 \sqrt{LC})^2 = (\sqrt{LC'})^2\] \[4LC = LC'\] Сократим \(L\) с обеих сторон (так как \(L\) не равно нулю): \[4C = C'\] Таким образом, емкость конденсатора \(C\) увеличилась в 4 раза. Ответ: В) увеличилась в 4 раза 5. На каком расстоянии от антенны радиолокатора находится объект, если отраженный от него радиосигнал возвратился обратно через 200 мкс? Решение: Радиосигнал распространяется со скоростью света \(c\). Скорость света \(c \approx 3 \cdot 10^8\) м/с. Время, через которое сигнал возвратился, \(\Delta t = 200\) мкс. Переведем время в секунды: \(200\) мкс \( = 200 \cdot 10^{-6}\) с \( = 2 \cdot 10^{-4}\) с. Сигнал проходит расстояние от радиолокатора до объекта и обратно. То есть, он проходит расстояние \(2S\), где \(S\) – расстояние до объекта. Формула для расстояния: \[Расстояние = Скорость \cdot Время\] \[2S = c \cdot \Delta t\] Чтобы найти расстояние до объекта \(S\), нужно разделить общее пройденное расстояние на 2: \[S = \frac{c \cdot \Delta t}{2}\] Подставим значения: \[S = \frac{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (2 \cdot 10^{-4} \text{ с})}{2}\] \[S = \frac{6 \cdot 10^4 \text{ м}}{2}\] \[S = 3 \cdot 10^4 \text{ м}\] \[S = 30000 \text{ м}\] \[S = 30 \text{ км}\] Ответ: Объект находится на расстоянии 30 км от антенны радиолокатора. 6. Закрытый колебательный контур заменили открытым. Почему при этом колебания в контуре затухают быстрее? Решение: Закрытый колебательный контур (например, LC-контур) представляет собой систему, в которой энергия практически не излучается во внешнее пространство. Энергия переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Потери энергии в таком контуре обусловлены в основном сопротивлением проводов и диэлектрическими потерями. Открытый колебательный контур – это, по сути, антенна. Когда колебательный контур становится открытым (например, если конденсатор и катушка разнесены в пространстве или имеют большую площадь поверхности), он начинает эффективно излучать электромагнитные волны в окружающее пространство. Причины более быстрого затухания колебаний в открытом контуре: 1. Излучение электромагнитных волн: Открытый контур действует как антенна, преобразуя энергию колебаний в электромагнитные волны, которые уходят в пространство. Это приводит к быстрой потере энергии из контура. 2. Увеличение сопротивления излучения: Излучение энергии эквивалентно наличию дополнительного сопротивления в контуре, называемого сопротивлением излучения. Это сопротивление увеличивает общие потери энергии, что приводит к более быстрому затуханию колебаний. Таким образом, основная причина более быстрого затухания колебаний в открытом контуре – это эффективное излучение энергии в виде электромагнитных волн. Ответ: Колебания в открытом контуре затухают быстрее, потому что открытый контур эффективно излучает электромагнитные волны в окружающее пространство, теряя при этом энергию. Это излучение энергии эквивалентно дополнительному сопротивлению, что приводит к более быстрым потерям энергии и, как следствие, к более быстрому затуханию колебаний.