Решение задачи А62: Нахождение скорости и ускорения шарика

Хорошо, давайте решим задачу А62. Задача А62: Небольшой шарик, подвешенный на нити длиной \(l = 2\) м, отвели в сторону так, что нить образовала угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью, и затем отпустили. Найти полное ускорение шарика в тот момент, когда угол, который образует нить с вертикалью, равен \(\beta = 30^\circ\). Чему равна скорость шарика в этот момент? Решение: 1. Запишем, что дано в задаче: * Длина нити: \(l = 2\) м * Начальный угол отклонения: \(\alpha = 60^\circ\) * Угол, при котором нужно найти ускорение и скорость: \(\beta = 30^\circ\) * Ускорение свободного падения: \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) (если не указано иное, обычно принимают 10 м/с\(^2\) для упрощения расчетов, но будем использовать 9.8 м/с\(^2\)). 2. Найдем скорость шарика \(V\) в момент, когда угол отклонения нити от вертикали равен \(\beta = 30^\circ\). * Используем закон сохранения энергии. * Выберем нижнюю точку траектории шарика за нулевой уровень потенциальной энергии. * Начальная высота шарика над нулевым уровнем: \(h_\alpha = l - l \cos \alpha = l (1 - \cos \alpha)\). * Высота шарика над нулевым уровнем в момент, когда угол \(\beta\): \(h_\beta = l - l \cos \beta = l (1 - \cos \beta)\). * Начальная скорость шарика равна нулю, так как его отпустили. * По закону сохранения энергии: \(mgh_\alpha = mgh_\beta + \frac{1}{2} m V^2\) \(g h_\alpha = g h_\beta + \frac{1}{2} V^2\) \(g l (1 - \cos \alpha) = g l (1 - \cos \beta) + \frac{1}{2} V^2\) \(\frac{1}{2} V^2 = g l (1 - \cos \alpha) - g l (1 - \cos \beta)\) \(\frac{1}{2} V^2 = g l (\cos \beta - \cos \alpha)\) \(V^2 = 2 g l (\cos \beta - \cos \alpha)\) * Подставим значения: \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(V^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right)\) \(V^2 = 39.2 \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right)\) \(V^2 = 19.6 (\sqrt{3} - 1)\) \(V^2 \approx 19.6 (1.732 - 1) = 19.6 \cdot 0.732 \approx 14.3472\) \(V = \sqrt{14.3472} \approx 3.788\) м/с * Округлим до двух знаков после запятой: \(V \approx 3.79\) м/с. 3. Найдем полное ускорение шарика в этот момент. * Полное ускорение шарика состоит из двух компонент: нормального (центростремительного) ускорения \(a_n\) и тангенциального (касательного) ускорения \(a_\tau\). * \(a_{полн} = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2}\) * Нормальное ускорение \(a_n\): \(a_n = \frac{V^2}{l}\) \(a_n = \frac{2 g l (\cos \beta - \cos \alpha)}{l} = 2 g (\cos \beta - \cos \alpha)\) \(a_n = 2 \cdot 9.8 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = 19.6 (\sqrt{3} - 1)\) \(a_n \approx 19.6 \cdot 0.732 \approx 14.3472\) м/с\(^2\) Округлим до двух знаков после запятой: \(a_n \approx 14.35\) м/с\(^2\). * Тангенциальное ускорение \(a_\tau\): Тангенциальное ускорение обусловлено проекцией силы тяжести на касательную к траектории. В момент, когда нить образует угол \(\beta\) с вертикалью, проекция силы тяжести \(mg\) на касательную равна \(mg \sin \beta\). По второму закону Ньютона: \(m a_\tau = mg \sin \beta\) \(a_\tau = g \sin \beta\) \(a_\tau = 9.8 \cdot \sin 30^\circ = 9.8 \cdot \frac{1}{2} = 4.9\) м/с\(^2\). * Полное ускорение \(a_{полн}\): \(a_{полн} = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2}\) \(a_{полн} = \sqrt{(19.6 (\sqrt{3} - 1))^2 + (4.9)^2}\) \(a_{полн} = \sqrt{14.3472^2 + 4.9^2}\) \(a_{полн} = \sqrt{205.849 + 24.01} = \sqrt{229.859}\) \(a_{полн} \approx 15.16\) м/с\(^2\) Ответ: Скорость шарика в этот момент: \[V \approx 3.79 \text{ м/с}\] Полное ускорение шарика в этот момент: \[a_{полн} \approx 15.16 \text{ м/с}^2\]