Решение задачи A62* по физике: Найти угол, скорость и ускорение

Вот решение задачи А62* и А45. Задача А62* Небольшой шарик, подвешенный на нити длиной \(l = 2\) м, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти угол, который образует нить с вертикалью в тот момент, когда нормальное ускорение шарика равно тангенциальному ускорению. Чему равны скорость и полное ускорение шарика в этот момент? Решение: Дано: Длина нити \(l = 2\) м Начальный угол \(\alpha_0 = 90^\circ\) (прямой угол с вертикалью) Условие: нормальное ускорение \(a_n\) равно тангенциальному ускорению \(a_\tau\), то есть \(a_n = a_\tau\). Найти: Угол \(\alpha\) Скорость \(v\) Полное ускорение \(a\) 1. Запишем выражения для нормального и тангенциального ускорений. Нормальное ускорение (центростремительное): \[a_n = \frac{v^2}{l}\] Тангенциальное ускорение: \[a_\tau = g \sin \alpha\] где \(g\) - ускорение свободного падения, \(\alpha\) - угол отклонения нити от вертикали. 2. Применим закон сохранения энергии для нахождения скорости \(v\). Начальная высота шарика над нижней точкой траектории: \[h_0 = l\] Высота шарика в произвольный момент времени, когда нить образует угол \(\alpha\) с вертикалью: \[h = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha)\] По закону сохранения энергии (потенциальная энергия переходит в кинетическую): \[mgh_0 = mgh + \frac{mv^2}{2}\] \[mg l = mg l(1 - \cos \alpha) + \frac{mv^2}{2}\] Разделим на \(m\): \[gl = gl - gl \cos \alpha + \frac{v^2}{2}\] \[0 = -gl \cos \alpha + \frac{v^2}{2}\] \[\frac{v^2}{2} = gl \cos \alpha\] \[v^2 = 2gl \cos \alpha\] 3. Подставим \(v^2\) в выражение для нормального ускорения: \[a_n = \frac{2gl \cos \alpha}{l} = 2g \cos \alpha\] 4. Используем условие \(a_n = a_\tau\): \[2g \cos \alpha = g \sin \alpha\] Разделим на \(g\) (при условии, что \(g \neq 0\)): \[2 \cos \alpha = \sin \alpha\] Разделим на \(\cos \alpha\) (при условии, что \(\cos \alpha \neq 0\), что верно, так как \(\alpha\) не равно \(90^\circ\) в этот момент): \[2 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\] \[2 = \operatorname{tg} \alpha\] \[\alpha = \operatorname{arctg}(2)\] Вычислим значение угла: \[\alpha \approx 63.4^\circ\] 5. Найдем скорость \(v\) в этот момент: \[v^2 = 2gl \cos \alpha\] Мы знаем, что \(\operatorname{tg} \alpha = 2\). Построим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1. Гипотенуза будет \(\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\). Тогда \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\). \[v^2 = 2gl \frac{1}{\sqrt{5}}\] Подставим значения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) и \(l = 2\) м: \[v^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{39.2}{\sqrt{5}} \approx \frac{39.2}{2.236} \approx 17.53\] \[v = \sqrt{17.53} \approx 4.19\] м/с 6. Найдем полное ускорение \(a\). Полное ускорение определяется как векторная сумма нормального и тангенциального ускорений: \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2}\] Поскольку \(a_n = a_\tau\), то: \[a = \sqrt{a_n^2 + a_n^2} = \sqrt{2a_n^2} = a_n \sqrt{2}\] Вычислим \(a_n\): \[a_n = 2g \cos \alpha = 2 \cdot 9.8 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{19.6}{\sqrt{5}} \approx \frac{19.6}{2.236} \approx 8.76\] м/с\(^2\) Тогда полное ускорение: \[a = 8.76 \cdot \sqrt{2} \approx 8.76 \cdot 1.414 \approx 12.39\] м/с\(^2\) Ответ: Угол, который образует нить с вертикалью, равен \(\operatorname{arctg}(2) \approx 63.4^\circ\). Скорость шарика в этот момент примерно \(4.19\) м/с. Полное ускорение шарика в этот момент примерно \(12.39\) м/с\(^2\). Задача А45 Небольшой шарик, подвешенный на нити длиной \(l = 2\) м, отвели в сторону так, что нить образовала угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью, и затем отпустили. Найти полное ускорение шарика в тот момент, когда угол, который образует нить с вертикалью, равен \(\beta = 30^\circ\). Чему равна скорость шарика в этот момент? Решение: Дано: Длина нити \(l = 2\) м Начальный угол \(\alpha = 60^\circ\) Угол, при котором нужно найти ускорение и скорость \(\beta = 30^\circ\) Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) Найти: Полное ускорение \(a\) Скорость \(v\) 1. Найдем скорость \(v\) шарика в момент, когда угол с вертикалью равен \(\beta = 30^\circ\). Используем закон сохранения энергии. Начальная высота шарика над нижней точкой траектории: \[h_\alpha = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha)\] Высота шарика в момент, когда угол равен \(\beta\): \[h_\beta = l - l \cos \beta = l(1 - \cos \beta)\] По закону сохранения энергии (потенциальная энергия переходит в кинетическую): \[mgh_\alpha = mgh_\beta + \frac{mv^2}{2}\] \[mg l(1 - \cos \alpha) = mg l(1 - \cos \beta) + \frac{mv^2}{2}\] Разделим на \(m\): \[gl(1 - \cos \alpha) = gl(1 - \cos \beta) + \frac{v^2}{2}\] \[\frac{v^2}{2} = gl(1 - \cos \alpha) - gl(1 - \cos \beta)\] \[\frac{v^2}{2} = gl(1 - \cos \alpha - 1 + \cos \beta)\] \[\frac{v^2}{2} = gl(\cos \beta - \cos \alpha)\] \[v^2 = 2gl(\cos \beta - \cos \alpha)\] Подставим значения: \(l = 2\) м, \(\alpha = 60^\circ\), \(\beta = 30^\circ\). \(\cos 60^\circ = 0.5\) \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) \[v^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0.5)\] \[v^2 = 39.2 \cdot (0.866 - 0.5)\] \[v^2 = 39.2 \cdot 0.366\] \[v^2 \approx 14.35\] \[v = \sqrt{14.35} \approx 3.79\] м/с 2. Найдем нормальное ускорение \(a_n\) и тангенциальное ускорение \(a_\tau\). Нормальное ускорение: \[a_n = \frac{v^2}{l}\] \[a_n = \frac{14.35}{2} = 7.175\] м/с\(^2\) Тангенциальное ускорение: \[a_\tau = g \sin \beta\] \[\sin 30^\circ = 0.5\] \[a_\tau = 9.8 \cdot 0.5 = 4.9\] м/с\(^2\) 3. Найдем полное ускорение \(a\). Полное ускорение: \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2}\] \[a = \sqrt{(7.175)^2 + (4.9)^2}\] \[a = \sqrt{51.48 + 24.01}\] \[a = \sqrt{75.49}\] \[a \approx 8.69\] м/с\(^2\) Ответ: Скорость шарика в этот момент примерно \(3.79\) м/с. Полное ускорение шарика в этот момент примерно \(8.69\) м/с\(^2\).