Задача:
Ротор электродвигателя, вращающийся с частотой \(v = 960\) рад/мин, после выключения остановился через \(t = 10\) с. Угловое ускорение торможения ротора после выключения электродвигателя оставалось постоянным. Зависимость частоты вращения от времени торможения показана на рисунке. Число оборотов, которые сделал ротор до остановки равно:
Дано:
- Начальная угловая скорость (частота вращения) \(v_0 = 960\) рад/мин
- Время остановки \(t = 10\) с
Найти:
- Число оборотов \(N\)
Решение:
1. Переведем начальную угловую скорость из рад/мин в рад/с, так как время дано в секундах.
В одной минуте 60 секунд, поэтому:
\[v_0 = \frac{960 \text{ рад}}{1 \text{ мин}} = \frac{960 \text{ рад}}{60 \text{ с}} = 16 \text{ рад/с}\]2. Поскольку угловое ускорение торможения постоянно, движение является равнозамедленным. График зависимости угловой скорости от времени представляет собой прямую линию, и площадь под этим графиком равна угловому перемещению.
Начальная угловая скорость \(v_0 = 16\) рад/с.
Конечная угловая скорость \(v = 0\) рад/с (поскольку ротор остановился).
Время торможения \(t = 10\) с.
3. Угловое перемещение \(\Delta\varphi\) при равнозамедленном движении можно найти по формуле:
\[\Delta\varphi = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t\]Подставим известные значения:
\[\Delta\varphi = \frac{16 \text{ рад/с} + 0 \text{ рад/с}}{2} \cdot 10 \text{ с}\] \[\Delta\varphi = \frac{16}{2} \cdot 10 \text{ рад}\] \[\Delta\varphi = 8 \cdot 10 \text{ рад}\] \[\Delta\varphi = 80 \text{ рад}\]4. Теперь нам нужно найти число оборотов \(N\). Один полный оборот соответствует угловому перемещению в \(2\pi\) радиан.
Следовательно, число оборотов \(N\) можно найти по формуле:
\[N = \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\]Подставим значение \(\Delta\varphi\):
\[N = \frac{80 \text{ рад}}{2\pi \text{ рад/оборот}}\] \[N = \frac{40}{\pi} \text{ оборотов}\]5. Используем приближенное значение \(\pi \approx 3.14\):
\[N \approx \frac{40}{3.14}\] \[N \approx 12.738 \text{ оборотов}\]Округлим до целого числа, так как варианты ответов целые числа:
\[N \approx 13 \text{ оборотов}\]Ответ:
Число оборотов, которые сделал ротор до остановки, равно 13.
Выбор ответа:
Среди предложенных вариантов ответов:
1. 160
2. 80
3. 4800
4. 13
Правильный ответ: 4. 13