Задача:
Диск начинает вращаться под действием момента сил (M), график временной зависимости которого представлен на рисунке. Укажите график, правильно отражающий зависимость момента импульса (L) диска от времени.
Анализ условия:
1. Диск начинает вращаться. Это означает, что начальный момент импульса диска равен нулю (если не указано иное).
2. На диск действует момент сил \(M\). График зависимости момента сил \(M\) от времени \(t\) показан на рисунке.
Вспомним связь между моментом сил и моментом импульса:
Изменение момента импульса \(\Delta L\) тела равно импульсу момента сил \(J_M\), действующего на тело:
\[\Delta L = J_M\]Импульс момента сил определяется как интеграл момента сил по времени:
\[J_M = \int M \, dt\]Если момент сил \(M\) постоянен, то \(J_M = M \cdot \Delta t\).
Также, момент сил \(M\) является производной момента импульса \(L\) по времени:
\[M = \frac{dL}{dt}\]Это означает, что если момент сил \(M\) постоянен, то момент импульса \(L\) изменяется линейно. Если момент сил \(M\) равен нулю, то момент импульса \(L\) остается постоянным.
Рассмотрим график момента сил \(M(t)\):
- В интервале от \(t=0\) до \(t=t_1\): Момент сил \(M\) имеет постоянное положительное значение.
- В интервале от \(t=t_1\) до \(t=t_2\): Момент сил \(M\) равен нулю.
- После \(t=t_2\): Момент сил \(M\) также равен нулю.
Рассмотрим изменение момента импульса \(L(t)\) по интервалам:
1. До \(t=0\):
Диск начинает вращаться, значит, до \(t=0\) момент импульса \(L = 0\).
2. Интервал от \(t=0\) до \(t=t_1\):
Момент сил \(M\) имеет постоянное положительное значение. Следовательно, момент импульса \(L\) будет линейно возрастать от нуля.
\[L(t) = L_0 + \int_0^t M \, dt = 0 + M \cdot t = M \cdot t\]
На графике это будет прямая линия, идущая из начала координат вверх.
3. Интервал от \(t=t_1\) до \(t=t_2\):
Момент сил \(M\) равен нулю. Следовательно, момент импульса \(L\) остается постоянным. Он будет равен значению, которое он достиг к моменту \(t_1\).
\[L(t) = L(t_1) = M \cdot t_1 = \text{const}\]
На графике это будет горизонтальная линия.
4. После \(t=t_2\):
Момент сил \(M\) также равен нулю. Следовательно, момент импульса \(L\) продолжает оставаться постоянным, равным значению, которое он имел в интервале от \(t_1\) до \(t_2\).
\[L(t) = L(t_1) = \text{const}\]
На графике это будет горизонтальная линия.
Сравним с предложенными графиками момента импульса:
- График a: Момент импульса скачком увеличивается до постоянного значения, а затем остается постоянным. Это не соответствует линейному возрастанию.
- График b: Момент импульса линейно возрастает до \(t_1\), затем линейно убывает до \(t_2\), а затем снова линейно возрастает. Это не соответствует постоянному моменту импульса при нулевом моменте сил.
- График c: Момент импульса линейно возрастает от нуля до \(t_1\), затем остается постоянным от \(t_1\) до \(t_2\), а затем снова остается постоянным после \(t_2\).
- График d: Момент импульса линейно возрастает от нуля до \(t_1\), затем остается постоянным от \(t_1\) до \(t_2\), а затем линейно убывает. Это не соответствует постоянному моменту импульса при нулевом моменте сил после \(t_2\).
Вывод:
График "c" полностью соответствует нашему анализу: линейное возрастание момента импульса при постоянном моменте сил, и постоянство момента импульса при нулевом моменте сил.
Ответ:
1. c