Задача: Из сосуда выпустили половину находящегося в нем газа. Как необходимо изменить абсолютную температуру оставшегося в сосуде газа, чтобы давление его увеличилось в 3 раза?
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, которое описывает состояние идеального газа:
\[PV = \frac{m}{M}RT\]Где:
- \(P\) — давление газа
- \(V\) — объем газа
- \(m\) — масса газа
- \(M\) — молярная масса газа
- \(R\) — универсальная газовая постоянная
- \(T\) — абсолютная температура газа
В данной задаче объем сосуда \(V\) и молярная масса газа \(M\) остаются постоянными. Универсальная газовая постоянная \(R\) также является константой.
Рассмотрим два состояния газа:
Начальное состояние (до выпуска газа):
Пусть начальное давление будет \(P_1\), начальная масса газа \(m_1\), и начальная температура \(T_1\).
\[P_1V = \frac{m_1}{M}RT_1 \quad (1)\]Конечное состояние (после выпуска газа и изменения температуры):
Из сосуда выпустили половину газа, значит, масса газа стала в 2 раза меньше:
\[m_2 = \frac{m_1}{2}\]Давление газа увеличилось в 3 раза:
\[P_2 = 3P_1\]Пусть конечная температура будет \(T_2\).
\[P_2V = \frac{m_2}{M}RT_2 \quad (2)\]Подставим выражения для \(P_2\) и \(m_2\) в уравнение (2):
\[3P_1V = \frac{\frac{m_1}{2}}{M}RT_2\] \[3P_1V = \frac{m_1}{2M}RT_2 \quad (3)\]Теперь разделим уравнение (3) на уравнение (1):
\[\frac{3P_1V}{P_1V} = \frac{\frac{m_1}{2M}RT_2}{\frac{m_1}{M}RT_1}\]Сократим одинаковые члены \(P_1V\), \(m_1\), \(M\), \(R\):
\[3 = \frac{\frac{1}{2}T_2}{T_1}\] \[3 = \frac{T_2}{2T_1}\]Чтобы найти, как изменилась температура \(T_2\), выразим ее из этого уравнения:
\[T_2 = 3 \cdot 2T_1\] \[T_2 = 6T_1\]Вывод: Абсолютную температуру оставшегося в сосуде газа необходимо увеличить в 6 раз.
Ответ: Увеличить в 6 раз.