Задача: Диск начинает вращаться под действием момента сил (M), график временной зависимости которого представлен на рисунке. Укажите график, правильно отражающий зависимость момента импульса (L) диска от времени.
Решение:
Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения, изменение момента импульса тела равно импульсу момента силы, действующего на тело. Математически это выражается как:
\[\Delta L = M \Delta t\]или в дифференциальной форме:
\[\frac{dL}{dt} = M\]Это означает, что момент силы \(M\) является производной момента импульса \(L\) по времени. Или, наоборот, момент импульса \(L\) является интегралом момента силы \(M\) по времени:
\[L(t) = \int M(t) dt\]Начальный момент импульса диска равен нулю, так как он начинает вращаться.
Рассмотрим график зависимости момента сил \(M\) от времени \(t\):
- В интервале от \(0\) до \(t_1\): Момент силы \(M\) постоянен и положителен (\(M = \text{const} > 0\)).
- В интервале от \(t_1\) до \(t_2\): Момент силы \(M\) равен нулю (\(M = 0\)).
В этом интервале момент импульса \(L\) будет линейно возрастать, так как интеграл от константы — это линейная функция:
\[L(t) = \int M dt = Mt + C\]Поскольку \(L(0) = 0\), то \(C = 0\). Значит, \(L(t) = Mt\).
В этом интервале момент импульса \(L\) будет оставаться постоянным, так как интеграл от нуля — это константа:
\[L(t) = \int 0 dt = \text{const}\]Момент импульса сохранит значение, достигнутое к моменту \(t_1\).
Теперь сравним это с предложенными графиками:
- График a: Момент импульса сначала постоянен, затем линейно возрастает. Это не соответствует нашим выводам.
- График b: Момент импульса сначала линейно возрастает, затем линейно убывает. Это не соответствует нашим выводам.
- График c: Момент импульса сначала линейно возрастает (от \(0\) до \(t_1\)), а затем остается постоянным (от \(t_1\) до \(t_2\)). Это полностью соответствует нашим выводам.
- График d: Момент импульса сначала линейно возрастает, затем остается постоянным, а затем линейно убывает. Это не соответствует нашим выводам.
Таким образом, график c правильно отражает зависимость момента импульса диска от времени.
Ответ: 1. c