Задача: Применима ли для вычисления угла поворота тела формула \(\varphi = \omega t\) в случаях: 1) \(\omega = 3t\); 2) \(\omega = \text{const}\).
Решение:
Формула \(\varphi = \omega t\) используется для вычисления угла поворота \(\varphi\) тела при равномерном вращательном движении, то есть когда угловая скорость \(\omega\) является постоянной величиной. В общем случае, угловая скорость \(\omega\) определяется как производная угла поворота по времени:
\[\omega = \frac{d\varphi}{dt}\]Отсюда, угол поворота \(\varphi\) можно найти как интеграл угловой скорости по времени:
\[\varphi = \int \omega(t) dt\]Рассмотрим каждый из предложенных случаев:
1) Случай: \(\omega = 3t\)
В этом случае угловая скорость \(\omega\) не является постоянной, она линейно зависит от времени \(t\). Это означает, что тело движется с переменной угловой скоростью (равноускоренное вращение, если угловое ускорение постоянно).
Для нахождения угла поворота нужно проинтегрировать \(\omega(t)\):
\[\varphi = \int (3t) dt = \frac{3t^2}{2} + C\]Если начальный угол поворота \(\varphi(0) = 0\), то \(C = 0\), и \(\varphi = \frac{3t^2}{2}\).
Очевидно, что \(\varphi = \frac{3t^2}{2}\) не равно \(\omega t = (3t)t = 3t^2\).
Следовательно, формула \(\varphi = \omega t\) неприменима в этом случае.
2) Случай: \(\omega = \text{const}\)
В этом случае угловая скорость \(\omega\) является постоянной величиной. Это соответствует равномерному вращательному движению.
Для нахождения угла поворота также проинтегрируем \(\omega(t)\):
\[\varphi = \int \omega dt = \omega t + C\]Если начальный угол поворота \(\varphi(0) = 0\), то \(C = 0\), и \(\varphi = \omega t\).
Следовательно, формула \(\varphi = \omega t\) применима в этом случае.
Вывод:
- В первом случае (\(\omega = 3t\)) формула \(\varphi = \omega t\) неприменима.
- Во втором случае (\(\omega = \text{const}\)) формула \(\varphi = \omega t\) применима.
Ответ: 3. нет, да