Задача: Уравнение гармонических колебаний с амплитудой \(A = 5\) см и периодом \(T = 0.5\) с имеет вид:
Решение:
Общий вид уравнения гармонических колебаний выглядит так:
\[x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)\]Где:
- \(x(t)\) — смещение тела от положения равновесия в момент времени \(t\)
- \(A\) — амплитуда колебаний (максимальное смещение)
- \(\omega\) — циклическая (круговая) частота
- \(t\) — время
- \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний
В данной задаче нам даны:
- Амплитуда \(A = 5\) см. Переведем ее в метры, так как в предложенных ответах амплитуда указана в метрах: \(A = 5\) см \( = 0.05\) м.
- Период \(T = 0.5\) с.
Начальная фаза \(\varphi_0\) не указана, поэтому будем считать ее равной нулю (\(\varphi_0 = 0\)), что соответствует началу отсчета времени, когда тело находится в положении равновесия и движется в положительном направлении.
Теперь нам нужно найти циклическую частоту \(\omega\). Она связана с периодом \(T\) формулой:
\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]Подставим значение периода \(T = 0.5\) с:
\[\omega = \frac{2\pi}{0.5 \text{ с}}\] \[\omega = 4\pi \text{ рад/с}\]Теперь подставим найденные значения амплитуды \(A\) и циклической частоты \(\omega\) в общее уравнение гармонических колебаний (с \(\varphi_0 = 0\)):
\[x(t) = A \sin(\omega t)\] \[x(t) = 0.05 \sin(4\pi t)\]Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:
- \(x = 0.5 \sin(0.05\pi t)\) — не подходит (амплитуда и частота не совпадают).
- \(x = 0.05 \sin(0.05\pi t)\) — не подходит (частота не совпадает).
- \(x = 0.05 \sin(2\pi t)\) — не подходит (частота не совпадает).
- \(x = 0.05 \sin(4\pi t)\) — подходит.
Вывод: Уравнение гармонических колебаний с заданными параметрами имеет вид \(x = 0.05 \sin(4\pi t)\).
Ответ: 4. \(x = 0.05 \sin(4\pi t)\)