Решение задачи
Нам нужно определить, как изменится угловое ускорение вала, если грузы переместить ближе к оси вращения, при условии, что момент сил, действующий на вал, сохраняется.
1. Основное уравнение динамики вращательного движения.
Основное уравнение динамики вращательного движения аналогично второму закону Ньютона для поступательного движения. Оно выглядит так:
\[ M = I \cdot \varepsilon \]
где:
- \( M \) — момент сил, действующий на вал (вращающий момент).
- \( I \) — момент инерции вала с грузами относительно оси вращения.
- \( \varepsilon \) — угловое ускорение вала.
2. Анализ изменения момента инерции.
Момент инерции \( I \) характеризует инертность тела при вращательном движении. Для системы точечных масс (грузов) он рассчитывается как сумма произведений масс на квадрат расстояния до оси вращения:
\[ I = \sum m_i r_i^2 \]
В нашей задаче грузы перемещают ближе к оси вращения. Это означает, что расстояние \( r_i \) от каждого груза до оси вращения уменьшается.
Поскольку момент инерции пропорционален квадрату расстояния \( r_i^2 \), то при уменьшении \( r_i \) момент инерции \( I \) уменьшится.
3. Анализ изменения углового ускорения.
Из условия задачи известно, что момент сил \( M \), действующий на вал, сохраняется (остается постоянным).
Перепишем основное уравнение динамики вращательного движения, чтобы выразить угловое ускорение:
\[ \varepsilon = \frac{M}{I} \]
Мы знаем, что:
- Момент сил \( M \) остается постоянным.
- Момент инерции \( I \) уменьшается (как мы выяснили в пункте 2).
Если числитель дроби остается постоянным, а знаменатель уменьшается, то значение всей дроби увеличивается.
Следовательно, угловое ускорение \( \varepsilon \) увеличится.
4. Вывод.
При перемещении грузов ближе к оси вращения момент инерции системы уменьшается. Поскольку момент сил, действующий на вал, сохраняется, угловое ускорение вала увеличится.
Теперь сравним наш вывод с предложенными вариантами ответов:
- не изменится
- уменьшится
- увеличится
Наш вывод соответствует варианту ответа 3.
Ответ: 3. увеличится