Решение задачи B7: Определение объема аэростата

Вот решение задач В7* и В10*. Задача В7* Аэростат постоянного объема наполнен водородом при температуре \(15^\circ\)С. При нормальном атмосферном давлении под влиянием солнечной радиации его температура поднялась до \(37^\circ\)С, а излишек газа вышел через аппендикс, благодаря чему масса аэростата с газом уменьшилась на \(\Delta m = 6.5\) кг. Определить объем аэростата. Решение: Дано: Начальная температура \(T_1 = 15^\circ\)С Конечная температура \(T_2 = 37^\circ\)С Изменение массы водорода \(\Delta m = 6.5\) кг Давление \(P = P_{атм} = 101325\) Па (нормальное атмосферное давление) Молярная масса водорода \(M(\text{H}_2) = 2 \cdot 10^{-3}\) кг/моль Универсальная газовая постоянная \(R = 8.31\) Дж/(моль \(\cdot\) К) Найти: Объем аэростата \(V\) 1. Переведем температуры из градусов Цельсия в Кельвины: \[T_1 = 15^\circ\text{С} + 273.15 = 288.15 \text{ К}\] \[T_2 = 37^\circ\text{С} + 273.15 = 310.15 \text{ К}\] 2. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний газа в аэростате. Объем аэростата \(V\) и давление \(P\) остаются постоянными. Начальное состояние: \[PV = \frac{m_1}{M} RT_1\] где \(m_1\) - начальная масса водорода. Конечное состояние: \[PV = \frac{m_2}{M} RT_2\] где \(m_2\) - конечная масса водорода. 3. Из условия задачи известно, что масса аэростата с газом уменьшилась на \(\Delta m\), то есть: \[\Delta m = m_1 - m_2\] Отсюда \(m_2 = m_1 - \Delta m\). 4. Выразим \(m_1\) и \(m_2\) из уравнений Менделеева-Клапейрона: \[m_1 = \frac{PVM}{RT_1}\] \[m_2 = \frac{PVM}{RT_2}\] 5. Подставим эти выражения в формулу для \(\Delta m\): \[\Delta m = \frac{PVM}{RT_1} - \frac{PVM}{RT_2}\] Вынесем общие множители: \[\Delta m = \frac{PVM}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)\] \[\Delta m = \frac{PVM}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)\] 6. Выразим объем \(V\): \[V = \frac{\Delta m \cdot R \cdot T_1 \cdot T_2}{P \cdot M \cdot (T_2 - T_1)}\] 7. Подставим численные значения: \[V = \frac{6.5 \text{ кг} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 288.15 \text{ К} \cdot 310.15 \text{ К}}{101325 \text{ Па} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} \cdot (310.15 \text{ К} - 288.15 \text{ К})}\] \[V = \frac{6.5 \cdot 8.31 \cdot 288.15 \cdot 310.15}{101325 \cdot 0.002 \cdot 22}\] \[V = \frac{4830000}{4458.3} \approx 1083.3\] м\(^3\) Ответ: Объем аэростата составляет примерно \(1083.3\) м\(^3\). Задача В10* В баллон вместимостью \(V = 20.0\) л находится аргон под давлением \(p_1 = 800\) кПа и при температуре \(T_1 = 300\) К. Когда из баллона выпустили часть аргона, его температура понизилась до \(T_2 = 280\) К, а давление стало \(p_2 = 500\) кПа. Определить массу выпущенного аргона. Решение: Дано: Объем баллона \(V = 20.0\) л Начальное давление \(p_1 = 800\) кПа Начальная температура \(T_1 = 300\) К Конечное давление \(p_2 = 500\) кПа Конечная температура \(T_2 = 280\) К Молярная масса аргона \(M(\text{Ar}) = 39.95 \cdot 10^{-3}\) кг/моль (приблизительно \(40 \cdot 10^{-3}\) кг/моль) Универсальная газовая постоянная \(R = 8.31\) Дж/(моль \(\cdot\) К) Найти: Массу выпущенного аргона \(\Delta m\) 1. Переведем объем и давление в СИ: \[V = 20.0 \text{ л} = 20.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\] \[p_1 = 800 \text{ кПа} = 800 \cdot 10^3 \text{ Па}\] \[p_2 = 500 \text{ кПа} = 500 \cdot 10^3 \text{ Па}\] 2. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний аргона в баллоне. Начальное состояние: \[p_1 V = \frac{m_1}{M} RT_1\] где \(m_1\) - начальная масса аргона. Конечное состояние: \[p_2 V = \frac{m_2}{M} RT_2\] где \(m_2\) - конечная масса аргона. 3. Выразим \(m_1\) и \(m_2\) из этих уравнений: \[m_1 = \frac{p_1 V M}{RT_1}\] \[m_2 = \frac{p_2 V M}{RT_2}\] 4. Масса выпущенного аргона \(\Delta m\) равна разности начальной и конечной масс: \[\Delta m = m_1 - m_2\] \[\Delta m = \frac{p_1 V M}{RT_1} - \frac{p_2 V M}{RT_2}\] Вынесем общие множители: \[\Delta m = \frac{V M}{R} \left( \frac{p_1}{T_1} - \frac{p_2}{T_2} \right)\] 5. Подставим численные значения: \[\Delta m = \frac{20.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 39.95 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \left( \frac{800 \cdot 10^3 \text{ Па}}{300 \text{ К}} - \frac{500 \cdot 10^3 \text{ Па}}{280 \text{ К}} \right)\] \[\Delta m = \frac{0.02 \cdot 0.03995}{8.31} \left( \frac{800000}{300} - \frac{500000}{280} \right)\] \[\Delta m = \frac{0.000799}{8.31} \left( 2666.67 - 1785.71 \right)\] \[\Delta m \approx 0.0000961 \cdot (880.96)\] \[\Delta m \approx 0.0846\] кг Ответ: Масса выпущенного аргона составляет примерно \(0.0846\) кг.