Найти пределы функций
65. а) Найти предел функции:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 - 2x + 1}{3x^2 + 2x - 5} \]Решение:
Для нахождения предела при \(x \to \infty\) у рациональной функции, нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \(x\) в знаменателе. В данном случае, старшая степень \(x\) в знаменателе — это \(x^2\).
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 - 2x + 1}{3x^2 + 2x - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^4}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{5}{x^2}} \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}} \]При \(x \to \infty\), члены вида \(\frac{C}{x^n}\) стремятся к нулю.
\[ = \frac{3 \cdot (\infty)^2 - 0 + 0}{3 + 0 - 0} = \frac{\infty}{3} = \infty \]Ответ: \(\infty\)
б) Найти предел функции:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 + 3x - 28}{x^2 - 4x} \]Решение:
Сначала подставим \(x = 4\) в функцию:
\[ \frac{4^2 + 3 \cdot 4 - 28}{4^2 - 4 \cdot 4} = \frac{16 + 12 - 28}{16 - 16} = \frac{0}{0} \]Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: \(x^2 + 3x - 28\). Корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 28 = 0\) можно найти по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} \] \[ x_1 = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]Значит, \(x^2 + 3x - 28 = (x - 4)(x + 7)\).
Знаменатель: \(x^2 - 4x = x(x - 4)\).
Теперь подставим разложенные множители в предел:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 7)}{x(x - 4)} \]Сократим \((x - 4)\), так как \(x \ne 4\):
\[ = \lim_{x \to 4} \frac{x + 7}{x} \]Теперь подставим \(x = 4\):
\[ = \frac{4 + 7}{4} = \frac{11}{4} \]Ответ: \(\frac{11}{4}\)
в) Найти предел функции:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos 6x} \]Решение:
Сначала подставим \(x = 0\) в функцию:
\[ \frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{1 - \cos (6 \cdot 0)} = \frac{1 - \cos 0}{1 - \cos 0} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} \]Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Воспользуемся первым замечательным пределом и эквивалентными бесконечно малыми функциями. Известно, что при \(t \to 0\):
\[ 1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2} \]Применим это к числителю и знаменателю:
Для числителя: \(t = 2x\). При \(x \to 0\), \(2x \to 0\). Значит, \(1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2\).
Для знаменателя: \(t = 6x\). При \(x \to 0\), \(6x \to 0\). Значит, \(1 - \cos 6x \sim \frac{(6x)^2}{2} = \frac{36x^2}{2} = 18x^2\).
Теперь подставим эквивалентные выражения в предел:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{18x^2} \]Сократим \(x^2\):
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]Ответ: \(\frac{1}{9}\)
г) Найти предел функции:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x}} \]Решение:
Сначала подставим \(x = 0\) в функцию:
\[ \frac{3 \cdot 0}{\sqrt{5 - 0} - \sqrt{5 + 0}} = \frac{0}{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = \frac{0}{0} \]Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, чтобы избавиться от корней:
Сопряженное выражение к \(\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x}\) это \(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x}\).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x}} \cdot \frac{\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x}}{\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x}} \]Используем формулу разности квадратов \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) для знаменателя:
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{3x(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{(\sqrt{5 - x})^2 - (\sqrt{5 + x})^2} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{3x(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{(5 - x) - (5 + x)} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{3x(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{5 - x - 5 - x} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{3x(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{-2x} \]Сократим \(x\), так как \(x \ne 0\):
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{3(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{-2} \]Теперь подставим \(x = 0\):
\[ = \frac{3(\sqrt{5 - 0} + \sqrt{5 + 0})}{-2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{5})}{-2} = \frac{3(2\sqrt{5})}{-2} \] \[ = \frac{6\sqrt{5}}{-2} = -3\sqrt{5} \]Ответ: \(-3\sqrt{5}\)
Построить кривые по заданным уравнениям
1. Уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16\)
Это уравнение окружности. Общий вид уравнения окружности: \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\), где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(R\) — её радиус.
Сравнивая с заданным уравнением, получаем:
- Центр окружности: \((x_0, y_0) = (-3, 2)\)
- Радиус окружности: \(R^2 = 16 \Rightarrow R = \sqrt{16} = 4\)
Для построения: Отметьте точку \((-3, 2)\) как центр. Затем от этой точки отложите 4 единицы вправо, влево, вверх и вниз, чтобы найти четыре точки на окружности. Соедините эти точки плавной кривой.
2. Уравнение: \(25x^2 + 49y^2 = 1225\)
Это уравнение эллипса. Общий вид уравнения эллипса, центрированного в начале координат: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
Чтобы привести заданное уравнение к этому виду, разделим обе части на 1225:
\[ \frac{25x^2}{1225} + \frac{49y^2}{1225} = \frac{1225}{1225} \] \[ \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{25} = 1 \]Сравнивая с общим видом, получаем:
- \(a^2 = 49 \Rightarrow a = \sqrt{49} = 7\). Это длина большой полуоси по оси \(x\).
- \(b^2 = 25 \Rightarrow b = \sqrt{25} = 5\). Это длина малой полуоси по оси \(y\).
Центр эллипса находится в точке \((0, 0)\).
Для построения: Отметьте центр \((0, 0)\). Отложите от центра 7 единиц вправо и влево по оси \(x\) (точки \((7, 0)\) и \((-7, 0)\)). Отложите от центра 5 единиц вверх и вниз по оси \(y\) (точки \((0, 5)\) и \((0, -5)\)). Соедините эти четыре точки плавной овальной кривой.
3. Уравнение: \(9x^2 - 36y^2 = 324\)
Это уравнение гиперболы. Общий вид уравнения гиперболы, центрированной в начале координат: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) (если фокусы на оси \(x\)) или \(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) (если фокусы на оси \(y\)).
Чтобы привести заданное уравнение к этому виду, разделим обе части на 324:
\[ \frac{9x^2}{324} - \frac{36y^2}{324} = \frac{324}{324} \] \[ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1 \]Сравнивая с общим видом, получаем:
- \(a^2 = 36 \Rightarrow a = \sqrt{36} = 6\). Это расстояние от центра до вершин по оси \(x\).
- \(b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3\). Это параметр, используемый для построения асимптот.
Центр гиперболы находится в точке \((0, 0)\).
Для построения:
- Отметьте центр \((0, 0)\).
- Вершины гиперболы находятся на оси \(x\) в точках \((6, 0)\) и \((-6, 0)\).
- Постройте вспомогательный прямоугольник с вершинами в точках \((a, b), (a, -b), (-a, b), (-a, -b)\), то есть \((6, 3), (6, -3), (-6, 3), (-6, -3)\).
- Проведите диагонали этого прямоугольника. Это будут асимптоты гиперболы. Уравнения асимптот: \(y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{6}x = \pm \frac{1}{2}x\).
- Нарисуйте ветви гиперболы, проходящие через вершины \((6, 0)\) и \((-6, 0)\) и приближающиеся к асимптотам.
4. Уравнение: \(y = -x^2 + 4x - 1\)
Это уравнение параболы. Общий вид уравнения параболы: \(y = ax^2 + bx + c\).
В данном случае \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -1\).
Поскольку \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы \((x_в, y_в)\):
\[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \] \[ y_в = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \]Вершина параболы находится в точке \((2, 3)\).
Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью \(y\) (при \(x = 0\)): \(y = -(0)^2 + 4 \cdot 0 - 1 = -1\). Точка \((0, -1)\).
- С осью \(x\) (при \(y = 0\)): \(-x^2 + 4x - 1 = 0\). Умножим на \(-1\): \(x^2 - 4x + 1 = 0\).
Найдем корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \] \[ x_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.73 = 3.73 \] \[ x_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.73 = 0.27 \]Точки пересечения с осью \(x\): \((2 + \sqrt{3}, 0)\) и \((2 - \sqrt{3}, 0)\).
Для построения: Отметьте вершину \((2, 3)\). Отметьте точки пересечения с осями \((0, -1)\), \((3.73, 0)\), \((0.27, 0)\). Постройте параболу,