Решение: уравнение окружности (x+3)^2 + (y-2)^2 = 16

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Построить кривые по заданным уравнениям: 1. Уравнение: \( (x+3)^2 + (y-2)^2 = 16 \) Это уравнение окружности. Общий вид уравнения окружности: \( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2 \), где \( (x_0, y_0) \) - координаты центра окружности, а \( R \) - её радиус. Сравнивая наше уравнение с общим видом, получаем: Центр окружности: \( (-3, 2) \) Радиус окружности: \( R^2 = 16 \Rightarrow R = \sqrt{16} = 4 \) Для построения: 1. Отметьте точку \( (-3, 2) \) на координатной плоскости. Это будет центр окружности. 2. Из этой точки отложите 4 единицы вправо, влево, вверх и вниз. Эти точки будут лежать на окружности. 3. Соедините эти точки плавной линией, чтобы получить окружность. 2. Уравнение: \( 25x^2 + 49y^2 = 1225 \) Это уравнение эллипса. Приведем его к каноническому виду, разделив обе части на 1225: \( \frac{25x^2}{1225} + \frac{49y^2}{1225} = \frac{1225}{1225} \) \( \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{25} = 1 \) Общий вид уравнения эллипса: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), где \( a \) и \( b \) - полуоси эллипса. Сравнивая наше уравнение с общим видом, получаем: \( a^2 = 49 \Rightarrow a = \sqrt{49} = 7 \) \( b^2 = 25 \Rightarrow b = \sqrt{25} = 5 \) Центр эллипса находится в начале координат \( (0, 0) \). Для построения: 1. Отметьте центр эллипса в точке \( (0, 0) \). 2. Отложите от центра 7 единиц по оси \( Ox \) вправо и влево (точки \( (7, 0) \) и \( (-7, 0) \)). 3. Отложите от центра 5 единиц по оси \( Oy \) вверх и вниз (точки \( (0, 5) \) и \( (0, -5) \)). 4. Соедините эти точки плавной линией, чтобы получить эллипс. 3. Уравнение: \( 9x^2 - 36y^2 = 324 \) Это уравнение гиперболы. Приведем его к каноническому виду, разделив обе части на 324: \( \frac{9x^2}{324} - \frac{36y^2}{324} = \frac{324}{324} \) \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1 \) Общий вид уравнения гиперболы: \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \), где \( a \) и \( b \) - полуоси гиперболы. Сравнивая наше уравнение с общим видом, получаем: \( a^2 = 36 \Rightarrow a = \sqrt{36} = 6 \) \( b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \) Центр гиперболы находится в начале координат \( (0, 0) \). Вершины гиперболы находятся в точках \( (\pm a, 0) \), то есть \( (6, 0) \) и \( (-6, 0) \). Асимптоты гиперболы задаются уравнениями \( y = \pm \frac{b}{a}x \). В нашем случае: \( y = \pm \frac{3}{6}x \Rightarrow y = \pm \frac{1}{2}x \) Для построения: 1. Отметьте центр гиперболы в точке \( (0, 0) \). 2. Отложите от центра 6 единиц по оси \( Ox \) вправо и влево (точки \( (6, 0) \) и \( (-6, 0) \)). Это вершины гиперболы. 3. Постройте прямоугольник с вершинами \( (\pm a, \pm b) \), то есть \( (\pm 6, \pm 3) \). 4. Проведите диагонали этого прямоугольника. Эти диагонали являются асимптотами гиперболы. 5. Нарисуйте ветви гиперболы, проходящие через вершины \( (6, 0) \) и \( (-6, 0) \) и приближающиеся к асимптотам. 4. Уравнение: \( y = -x^2 + 4x - 1 \) Это уравнение параболы. Так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы \( (x_в, y_в) \). Координата \( x_в \) находится по формуле: \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = -1 \), \( b = 4 \). \( x_в = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \) Координату \( y_в \) найдем, подставив \( x_в = 2 \) в уравнение параболы: \( y_в = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \) Вершина параболы: \( (2, 3) \). Для построения: 1. Отметьте вершину параболы в точке \( (2, 3) \). 2. Найдите несколько дополнительных точек, подставляя значения \( x \) в уравнение. Например: Если \( x = 0 \), \( y = -(0)^2 + 4(0) - 1 = -1 \). Точка \( (0, -1) \). Если \( x = 1 \), \( y = -(1)^2 + 4(1) - 1 = -1 + 4 - 1 = 2 \). Точка \( (1, 2) \). Если \( x = 3 \), \( y = -(3)^2 + 4(3) - 1 = -9 + 12 - 1 = 2 \). Точка \( (3, 2) \). Если \( x = 4 \), \( y = -(4)^2 + 4(4) - 1 = -16 + 16 - 1 = -1 \). Точка \( (4, -1) \). 3. Постройте эти точки и соедините их плавной линией, чтобы получить параболу, ветви которой направлены вниз. Найти пределы функций: 65. а) \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 - 2x + 1}{3x^2 + 2x - 5} \) Для нахождения предела рациональной функции при \( x \to \infty \), нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе. В данном случае это \( x^2 \). \( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^4}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}} \) При \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{C}{x^n} \) стремятся к нулю. \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 0 + 0}{3 + 0 - 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{3} = \lim_{x \to \infty} x^2 \) Так как \( x^2 \) при \( x \to \infty \) стремится к бесконечности, то: \( \lim_{x \to \infty} x^2 = \infty \) Ответ: \( \infty \) б) \( \lim_{x \to 4} \frac{x^2 + 3x - 28}{x^2 - 4x} \) Сначала подставим \( x = 4 \) в функцию: Числитель: \( 4^2 + 3(4) - 28 = 16 + 12 - 28 = 0 \) Знаменатель: \( 4^2 - 4(4) = 16 - 16 = 0 \) Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \( x^2 + 3x - 28 \). Корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 28 = 0 \) можно найти по теореме Виета или через дискриминант. \( x_1 = -7, x_2 = 4 \). Значит, \( x^2 + 3x - 28 = (x - 4)(x + 7) \). Знаменатель: \( x^2 - 4x = x(x - 4) \). Теперь подставим разложенные множители в предел: \( \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 7)}{x(x - 4)} \) Сократим \( (x - 4) \), так как \( x \neq 4 \) при вычислении предела: \( \lim_{x \to 4} \frac{x + 7}{x} \) Теперь подставим \( x = 4 \): \( \frac{4 + 7}{4} = \frac{11}{4} \) Ответ: \( \frac{11}{4} \) в) \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos 6x} \) Сначала подставим \( x = 0 \) в функцию: Числитель: \( 1 - \cos(2 \cdot 0) = 1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0 \) Знаменатель: \( 1 - \cos(6 \cdot 0) = 1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0 \) Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Воспользуемся первым замечательным пределом в виде \( \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2} \). Для этого преобразуем выражение: \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \cdot (2x)^2}{\frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2} \cdot (6x)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \cdot 4x^2}{\frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2} \cdot 36x^2} \) Теперь применим замечательный предел: \( \frac{\frac{1}{2} \cdot 4x^2}{\frac{1}{2} \cdot 36x^2} = \frac{2x^2}{18x^2} \) Сократим \( x^2 \): \( \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \) Ответ: \( \frac{1}{9} \) г) \( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x}} \) Сначала подставим \( x = 0 \) в функцию: Числитель: \( 3 \cdot 0 = 0 \) Знаменатель: \( \sqrt{5 - 0} - \sqrt{5 + 0} = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0 \) Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя: \( \sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x} \). \( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x}} \cdot \frac{\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x}}{\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x}} \) Используем формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) в знаменателе: Знаменатель: \( (\sqrt{5 - x})^2 - (\sqrt{5 + x})^2 = (5 - x) - (5 + x) = 5 - x - 5 - x = -2x \) Теперь подставим это обратно в предел: \( \lim_{x \to 0} \frac{3x(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{-2x} \) Сократим \( x \) (так как \( x \neq 0 \) при вычислении предела): \( \lim_{x \to 0} \frac{3(\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 + x})}{-2} \) Теперь подставим \( x = 0 \): \( \frac{3(\sqrt{5 - 0} + \sqrt{5 + 0})}{-2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{5})}{-2} = \frac{3(2\sqrt{5})}{-2} = \frac{6\sqrt{5}}{-2} = -3\sqrt{5} \) Ответ: \( -3\sqrt{5} \)