Задача 8.49
В некоторой точке пространства индукция магнитного поля электромагнитной волны изменяется от нуля до максимального значения за 2 мкс. Чему равна длина волны?
Дано:
\(\Delta t = 2 \text{ мкс} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}\)
\(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\)
Найти:
\(\lambda\)
Решение:
Изменение индукции магнитного поля от нуля до максимального значения соответствует четверти периода колебаний электромагнитной волны.
Значит, период колебаний \(T\) равен:
\[T = 4 \cdot \Delta t\] \[T = 4 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ с}\]Длина волны \(\lambda\) связана с периодом \(T\) и скоростью света \(c\) формулой:
\[\lambda = c \cdot T\] \[\lambda = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \text{ с}\] \[\lambda = 24 \cdot 10^2 \text{ м} = 2400 \text{ м}\]Ответ:
Длина волны равна 2400 м.
Задача 8.50
Длина радиоволны в вакууме равна 60 м. За какое время напряженность электрического поля волны уменьшится от максимума до нуля?
Дано:
\(\lambda = 60 \text{ м}\)
\(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\)
Найти:
\(\Delta t\)
Решение:
Сначала найдем период колебаний \(T\) электромагнитной волны. Он связан с длиной волны \(\lambda\) и скоростью света \(c\) формулой:
\[T = \frac{\lambda}{c}\] \[T = \frac{60 \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 20 \cdot 10^{-8} \text{ с} = 2 \cdot 10^{-7} \text{ с}\]Уменьшение напряженности электрического поля от максимума до нуля соответствует четверти периода колебаний.
Значит, искомое время \(\Delta t\) равно:
\[\Delta t = \frac{T}{4}\] \[\Delta t = \frac{2 \cdot 10^{-7} \text{ с}}{4} = 0.5 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 5 \cdot 10^{-8} \text{ с}\]Ответ:
Напряженность электрического поля волны уменьшится от максимума до нуля за \(5 \cdot 10^{-8}\) с.
Задача 8.51
Колебательный контур радиоприемника настроен на длину волны 1,5 м. Во сколько раз нужно изменить электроемкость конденсатора контура, чтобы настроиться на частоту 100 МГц?
Дано:
\(\lambda_1 = 1.5 \text{ м}\)
\(f_2 = 100 \text{ МГц} = 100 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 10^8 \text{ Гц}\)
\(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\)
Найти:
\(\frac{C_1}{C_2}\) или \(\frac{C_2}{C_1}\)
Решение:
Сначала найдем частоту \(f_1\), соответствующую длине волны \(\lambda_1\):
\[f_1 = \frac{c}{\lambda_1}\] \[f_1 = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.5 \text{ м}} = 2 \cdot 10^8 \text{ Гц}\]Частота колебательного контура определяется формулой Томсона:
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]Отсюда видно, что \(f^2 \sim \frac{1}{C}\), или \(C \sim \frac{1}{f^2}\).
Тогда для двух случаев можно записать отношение электроемкостей:
\[\frac{C_2}{C_1} = \frac{f_1^2}{f_2^2}\] \[\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2\] \[\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{2 \cdot 10^8 \text{ Гц}}{1 \cdot 10^8 \text{ Гц}}\right)^2\] \[\frac{C_2}{C_1} = (2)^2 = 4\]Значит, электроемкость нужно уменьшить в 4 раза, чтобы настроиться на более высокую частоту.
Ответ:
Электроемкость конденсатора контура нужно уменьшить в 4 раза.
Задача 8.52
Дорожная служба для связи с патрульными машинами использует радиоволны длиной волны 24 м. Какова электроемкость входного контура радиоприемников патрульных машин, если индуктивность входного контура 0,5 мкГн?
Дано:
\(\lambda = 24 \text{ м}\)
\(L = 0.5 \text{ мкГн} = 0.5 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}\)
\(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\)
Найти:
\(C\)
Решение:
Сначала найдем частоту \(f\) радиоволны:
\[f = \frac{c}{\lambda}\] \[f = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{24 \text{ м}} = 0.125 \cdot 10^8 \text{ Гц} = 1.25 \cdot 10^7 \text{ Гц}\]Частота колебательного контура определяется формулой Томсона:
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]Возведем обе части в квадрат:
\[f^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC}\]Выразим электроемкость \(C\):
\[C = \frac{1}{4\pi^2 L f^2}\] \[C = \frac{1}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot (1.25 \cdot 10^7 \text{ Гц})^2}\] \[C = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot 1.5625 \cdot 10^{14}}\] \[C = \frac{1}{19.7192 \cdot 1.5625 \cdot 10^8}\] \[C = \frac{1}{30.81125 \cdot 10^8} \approx \frac{1}{3.08 \cdot 10^9}\] \[C \approx 0.324 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 324 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 324 \text{ пФ}\]Ответ:
Электроемкость входного контура радиоприемников составляет примерно 324 пФ.
Задача 8.53
Радиоприемник настроен на прием радиоволн с длиной 21 м. При этом электроемкость конденсатора входного колебательного контура радиоприемника равна 20 пФ. Какова индуктивность контура?
Дано:
\(\lambda = 21 \text{ м}\)
\(C = 20 \text{ пФ} = 20 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}\)
\(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\)
Найти:
\(L\)
Решение:
Сначала найдем частоту \(f\) радиоволны:
\[f = \frac{c}{\lambda}\] \[f = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{21 \text{ м}} = \frac{1}{7} \cdot 10^8 \text{ Гц} \approx 0.1428 \cdot 10^8 \text{ Гц}\]Частота колебательного контура определяется формулой Томсона:
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]Возведем обе части в квадрат:
\[f^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC}\]Выразим индуктивность \(L\):
\[L = \frac{1}{4\pi^2 C f^2}\] \[L = \frac{1}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 20 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \cdot (0.1428 \cdot 10^8 \text{ Гц})^2}\] \[L = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 20 \cdot 10^{-12} \cdot 0.02039 \cdot 10^{16}}\] \[L = \frac{1}{788.768 \cdot 10^{-12} \cdot 0.02039 \cdot 10^{16}}\] \[L = \frac{1}{16.082 \cdot 10^2} = \frac{1}{1608.2}\] \[L \approx 0.0006218 \text{ Гн} = 621.8 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 621.8 \text{ мкГн}\]Ответ:
Индуктивность контура составляет примерно 621.8 мкГн.
Задача 8.54
Сколько необходимо сменных катушек во входном колебательном контуре, чтобы радиоприемник можно было настраивать на любые радиостанции, работающие в диапазоне длин волн от \(\lambda_{\text{min}} = 50 \text{ м}\) до \(\lambda_{\text{max}} = 1200 \text{ м}\)? Электроемкость конденсатора колебательного контура можно изменять от \(C_1 = 20 \text{ пФ}\) до \(C_2 = 180 \text{ пФ}\).
Дано:
\(\lambda_{\text{min}} = 50 \text{ м}\)
\(\lambda_{\text{max}} = 1200 \text{ м}\)
\(C_{\text{min}} = 20 \text{ пФ} = 20 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}\)
\(C_{\text{max}} = 180 \text{ пФ} = 180 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}\)
\(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\)
Найти:
Количество катушек \(N\)
Решение:
Сначала найдем диапазон частот, на которые должен настраиваться приемник:
\[f_{\text{max}} = \frac{c}{\lambda_{\text{min}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{50 \text{ м}} = 6 \cdot 10^6 \text{ Гц}\] \[f_{\text{min}} = \frac{c}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1200 \text{ м}} = 0.0025 \cdot 10^8 \text{ Гц} = 2.5 \cdot 10^5 \text{ Гц}\]Частота колебательного контура определяется формулой Томсона:
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]Отсюда индуктивность \(L\) для заданной частоты \(f\) и электроемкости \(C\) равна:
\[L = \frac{1}{4\pi^2 C f^2}\]Для каждой катушки индуктивности \(L_i\) приемник может настраиваться в диапазоне частот от \(f_{i, \text{min}}\) до \(f_{i, \text{max}}\), используя диапазон электроемкостей от \(C_{\text{min}}\) до \(C_{\text{max}}\).
Тогда для одной катушки \(L_i\):
\[f_{i, \text{max}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_i C_{\text{min}}}}\] \[f_{i, \text{min}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_i C_{\text{max}}}}\]Отношение максимальной и минимальной частот для одной катушки:
\[\frac{f_{i, \text{max}}}{f_{i, \text{min}}} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_i C_{\text{min}}}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_i C_{\text{max}}}}} = \sqrt{\frac{C_{\text{max}}}{C_{\text{min}}}}\] \[\frac{f_{i, \text{max}}}{f_{i, \text{min}}} = \sqrt{\frac{180 \text{ пФ}}{20 \text{ пФ}}} = \sqrt{9} = 3\]Это означает, что с одной катушкой мы можем перекрыть диапазон частот, где максимальная частота в 3 раза больше минимальной.
Теперь найдем общий диапазон частот, который нужно перекрыть:
\[\frac{f_{\text{max}}}{f_{\text{min}}} = \frac{6 \cdot 10^6 \text{ Гц}}{2.5 \cdot 10^5 \text{ Гц}} = \frac{60}{2.5} = 24\]Пусть \(k = \frac{f_{i, \text{max}}}{f_{i, \text{min}}} = 3\). Общий диапазон \(K = \frac{f_{\text{max}}}{f_{\text{min}}} = 24\).
Если у нас \(N\) катушек, и каждая следующая катушка начинает перекрывать диапазон там, где заканчивается предыдущая, то общий диапазон будет \(k^N\).
То есть, \(K = k^N\).
В нашем случае, если мы используем \(N\) катушек, то диапазон частот, который можно перекрыть, будет \(k^N\). Нам нужно, чтобы \(k^N \ge K\).
Если мы используем одну катушку, то перекрываем диапазон в 3 раза. Если две катушки, то \(3 \cdot