Решение задачи B15: Определение массы аргона в баллоне

Хорошо, давайте решим эти задачи. Задача B15 В баллон вместимостью \(V = 20,0\) л находится аргон под давлением \(p_1 = 800\) кПа и при температуре \(T_1 = 300\) К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до \(p_2 = 400\) кПа, а температура установилась \(T_2 = 250\) К. Определить массу газа, взятого из баллона. Дано: Объем баллона \(V = 20,0\) л \( = 20,0 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) Начальное давление \(p_1 = 800\) кПа \( = 800 \cdot 10^3\) Па Начальная температура \(T_1 = 300\) К Конечное давление \(p_2 = 400\) кПа \( = 400 \cdot 10^3\) Па Конечная температура \(T_2 = 250\) К Молярная масса аргона \(M = 39,95\) г/моль \( = 0,03995\) кг/моль (можно округлить до \(0,040\) кг/моль для простоты расчетов, если не требуется высокая точность) Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31\) Дж/(моль\( \cdot \)К) Найти: Массу газа, взятого из баллона \(\Delta m\) Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона: \[pV = \frac{m}{M}RT\] Отсюда выразим массу газа: \[m = \frac{pVM}{RT}\] 1. Найдем начальную массу аргона в баллоне \(m_1\): \[m_1 = \frac{p_1VM}{RT_1}\] Подставим значения: \[m_1 = \frac{(800 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (20,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot (0,03995 \text{ кг/моль})}{(8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}) \cdot (300 \text{ К})}\] \[m_1 = \frac{800 \cdot 20 \cdot 0,03995}{8,31 \cdot 300} \text{ кг}\] \[m_1 = \frac{639,2}{2493} \text{ кг} \approx 0,2564 \text{ кг}\] 2. Найдем конечную массу аргона в баллоне \(m_2\): \[m_2 = \frac{p_2VM}{RT_2}\] Подставим значения: \[m_2 = \frac{(400 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (20,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot (0,03995 \text{ кг/моль})}{(8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}) \cdot (250 \text{ К})}\] \[m_2 = \frac{400 \cdot 20 \cdot 0,03995}{8,31 \cdot 250} \text{ кг}\] \[m_2 = \frac{319,6}{2077,5} \text{ кг} \approx 0,1538 \text{ кг}\] 3. Масса газа, взятого из баллона, равна разности начальной и конечной масс: \[\Delta m = m_1 - m_2\] \[\Delta m = 0,2564 \text{ кг} - 0,1538 \text{ кг}\] \[\Delta m = 0,1026 \text{ кг}\] Округлим до трех значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность: \[\Delta m \approx 0,103 \text{ кг}\] Ответ: Масса газа, взятого из баллона, составляет \(0,103\) кг. Задача B18 Идеальный газ с показателем адиабаты \(\gamma\) совершает процесс, при котором его внутренняя энергия зависит от объема по закону \(U = a \cdot V^\alpha\), где \(a\) и \(\alpha\) – постоянные. Найти работу, которую произведет газ, и тепло, которое надо сообщить ему, чтобы внутренняя энергия испытала приращение \(\Delta U\), а также молярную теплоемкость газа в этом процессе. Дано: Закон изменения внутренней энергии: \(U = a \cdot V^\alpha\) Приращение внутренней энергии: \(\Delta U\) Показатель адиабаты: \(\gamma\) Найти: Работу, произведенную газом: \(A\) Тепло, сообщенное газу: \(Q\) Молярную теплоемкость газа: \(C\) Решение: 1. Работа, произведенная газом. Из первого начала термодинамики для бесконечно малого изменения состояния: \[dQ = dU + dA\] где \(dA = p dV\) – элементарная работа, совершаемая газом. Тогда \(dA = dQ - dU\). Для конечного изменения состояния, если процесс происходит от состояния 1 до состояния 2: \[A = Q - \Delta U\] Однако, нам нужно найти работу, выраженную через параметры состояния. Мы знаем, что \(U = a \cdot V^\alpha\). Также для идеального газа внутренняя энергия связана с температурой: \[U = \frac{i}{2} nRT\] где \(i\) – число степеней свободы молекулы газа. Показатель адиабаты \(\gamma\) связан с числом степеней свободы: \[\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i+2}{i}\] Отсюда \(i = \frac{2}{\gamma - 1}\). Тогда: \[U = \frac{1}{\gamma - 1} nRT\] Из уравнения состояния идеального газа \(pV = nRT\), получаем: \[U = \frac{1}{\gamma - 1} pV\] Таким образом, \(p = (\gamma - 1) \frac{U}{V}\). Подставим выражение для \(U\): \[p = (\gamma - 1) \frac{a \cdot V^\alpha}{V} = (\gamma - 1) a \cdot V^{\alpha - 1}\] Работа, совершаемая газом при изменении объема от \(V_1\) до \(V_2\): \[A = \int_{V_1}^{V_2} p dV\] \[A = \int_{V_1}^{V_2} (\gamma - 1) a \cdot V^{\alpha - 1} dV\] \[A = (\gamma - 1) a \int_{V_1}^{V_2} V^{\alpha - 1} dV\] Если \(\alpha \neq 0\): \[A = (\gamma - 1) a \left[ \frac{V^\alpha}{\alpha} \right]_{V_1}^{V_2}\] \[A = \frac{\gamma - 1}{\alpha} a (V_2^\alpha - V_1^\alpha)\] Заметим, что \(a V_2^\alpha = U_2\) и \(a V_1^\alpha = U_1\). Тогда: \[A = \frac{\gamma - 1}{\alpha} (U_2 - U_1) = \frac{\gamma - 1}{\alpha} \Delta U\] Это выражение для работы, если \(\alpha \neq 0\). Если \(\alpha = 0\), то \(U = a = \text{const}\). В этом случае \(\Delta U = 0\), и работа \(A = 0\), если нет изменения объема. Если объем меняется, но внутренняя энергия постоянна, то \(p = 0\), и работа также равна нулю. 2. Тепло, которое надо сообщить газу. Из первого начала термодинамики: \[Q = \Delta U + A\] Подставим найденное выражение для \(A\): \[Q = \Delta U + \frac{\gamma - 1}{\alpha} \Delta U\] \[Q = \Delta U \left( 1 + \frac{\gamma - 1}{\alpha} \right)\] \[Q = \Delta U \frac{\alpha + \gamma - 1}{\alpha}\] 3. Молярная теплоемкость газа в этом процессе. Молярная теплоемкость \(C\) определяется как \(C = \frac{dQ}{ndT}\), где \(n\) – количество молей газа. Мы знаем, что \(dQ = dU + p dV\). \[dU = d(a V^\alpha) = a \alpha V^{\alpha - 1} dV\] \[p = (\gamma - 1) a V^{\alpha - 1}\] Тогда: \[dQ = a \alpha V^{\alpha - 1} dV + (\gamma - 1) a V^{\alpha - 1} dV\] \[dQ = a (\alpha + \gamma - 1) V^{\alpha - 1} dV\] Теперь нам нужно выразить \(dV\) через \(dT\). Мы знаем, что \(U = \frac{1}{\gamma - 1} nRT\), и \(U = a V^\alpha\). Значит, \(nRT = (\gamma - 1) a V^\alpha\). Дифференцируем это выражение: \[nR dT = (\gamma - 1) a \alpha V^{\alpha - 1} dV\] Отсюда: \[dV = \frac{nR dT}{(\gamma - 1) a \alpha V^{\alpha - 1}}\] Подставим \(dV\) в выражение для \(dQ\): \[dQ = a (\alpha + \gamma - 1) V^{\alpha - 1} \frac{nR dT}{(\gamma - 1) a \alpha V^{\alpha - 1}}\] \[dQ = \frac{(\alpha + \gamma - 1) nR}{\alpha (\gamma - 1)} dT\] Теперь найдем молярную теплоемкость \(C = \frac{dQ}{ndT}\): \[C = \frac{1}{n} \frac{dQ}{dT} = \frac{1}{n} \frac{(\alpha + \gamma - 1) nR}{\alpha (\gamma - 1)}\] \[C = \frac{(\alpha + \gamma - 1) R}{\alpha (\gamma - 1)}\] Это выражение для молярной теплоемкости в данном процессе. Ответы: Работа, произведенная газом: \[A = \frac{\gamma - 1}{\alpha} \Delta U\] Тепло, которое надо сообщить газу: \[Q = \Delta U \frac{\alpha + \gamma - 1}{\alpha}\] Молярная теплоемкость газа в этом процессе: \[C = \frac{(\alpha + \gamma - 1) R}{\alpha (\gamma - 1)}\]