Решение задачи B15: Максимальная температура идеального газа

Хорошо, давайте решим эту задачу. Задача B15 (вторая часть) Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из процессов: 1. \(p = p_0 - \alpha \cdot V^2\) 2. \(p = p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V}\) где \(p_0, \alpha\) и \(\beta\) – положительные постоянные, \(V\) – объем одного моля газа. Для одного моля идеального газа уравнение состояния Менделеева-Клапейрона имеет вид: \[pV = RT\] Отсюда выразим температуру: \[T = \frac{pV}{R}\] Чтобы найти максимальную температуру, нужно найти максимум функции \(T(V)\). Для этого возьмем производную \(dT/dV\) и приравняем ее к нулю. Процесс 1: \(p = p_0 - \alpha \cdot V^2\) 1. Выразим температуру \(T(V)\): Подставим выражение для \(p\) в формулу для \(T\): \[T(V) = \frac{(p_0 - \alpha V^2)V}{R} = \frac{p_0 V - \alpha V^3}{R}\] 2. Найдем производную \(dT/dV\) и приравняем ее к нулю: \[\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R} \frac{d}{dV} (p_0 V - \alpha V^3)\] \[\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R} (p_0 - 3 \alpha V^2)\] Приравняем производную к нулю: \[p_0 - 3 \alpha V^2 = 0\] \[3 \alpha V^2 = p_0\] \[V^2 = \frac{p_0}{3 \alpha}\] \[V = \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}\] Так как объем \(V\) должен быть положительным, берем положительный корень. 3. Убедимся, что это максимум. Для этого найдем вторую производную: \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{1}{R} \frac{d}{dV} (p_0 - 3 \alpha V^2) = \frac{1}{R} (-6 \alpha V)\] Так как \(\alpha > 0\) и \(V > 0\), то \(\frac{d^2T}{dV^2} < 0\), что подтверждает, что найденная точка является максимумом. 4. Найдем максимальную температуру, подставив найденное значение \(V\) в выражение для \(T(V)\): \[T_{max} = \frac{p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}} - \alpha \left(\sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}\right)^3}{R}\] \[T_{max} = \frac{p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}} - \alpha \frac{p_0}{3 \alpha} \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}} - \frac{p_0}{3} \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{\left(p_0 - \frac{p_0}{3}\right) \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{\frac{2}{3} p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{2 p_0}{3R} \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}\] Процесс 2: \(p = p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V}\) 1. Выразим температуру \(T(V)\): Подставим выражение для \(p\) в формулу для \(T\): \[T(V) = \frac{p_0 \cdot e^{-\beta V} \cdot V}{R}\] 2. Найдем производную \(dT/dV\) и приравняем ее к нулю. Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\). Пусть \(u = V\) и \(v = e^{-\beta V}\). Тогда \(u' = 1\) и \(v' = -\beta e^{-\beta V}\). \[\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} \frac{d}{dV} (V e^{-\beta V})\] \[\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} (1 \cdot e^{-\beta V} + V \cdot (-\beta e^{-\beta V}))\] \[\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (1 - \beta V)\] Приравняем производную к нулю: \[\frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (1 - \beta V) = 0\] Так как \(p_0 \neq 0\), \(R \neq 0\) и \(e^{-\beta V} \neq 0\), то: \[1 - \beta V = 0\] \[\beta V = 1\] \[V = \frac{1}{\beta}\] 3. Убедимся, что это максимум. Найдем вторую производную. \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} \frac{d}{dV} (e^{-\beta V} (1 - \beta V))\] Пусть \(u = e^{-\beta V}\) и \(v = 1 - \beta V\). Тогда \(u' = -\beta e^{-\beta V}\) и \(v' = -\beta\). \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} (-\beta e^{-\beta V} (1 - \beta V) + e^{-\beta V} (-\beta))\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (-\beta (1 - \beta V) - \beta)\] Подставим \(V = \frac{1}{\beta}\): \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta \cdot \frac{1}{\beta}} (-\beta (1 - \beta \cdot \frac{1}{\beta}) - \beta)\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-1} (-\beta (1 - 1) - \beta)\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-1} (0 - \beta) = -\frac{p_0 \beta}{Re}\] Так как \(p_0 > 0\), \(\beta > 0\), \(R > 0\) и \(e > 0\), то \(\frac{d^2T}{dV^2} < 0\), что подтверждает, что найденная точка является максимумом. 4. Найдем максимальную температуру, подставив найденное значение \(V\) в выражение для \(T(V)\): \[T_{max} = \frac{p_0 \cdot e^{-\beta \cdot \frac{1}{\beta}} \cdot \frac{1}{\beta}}{R}\] \[T_{max} = \frac{p_0 \cdot e^{-1} \cdot \frac{1}{\beta}}{R}\] \[T_{max} = \frac{p_0}{R \beta e}\] Ответы: Для процесса \(p = p_0 - \alpha \cdot V^2\): Максимальная температура: \[T_{max} = \frac{2 p_0}{3R} \sqrt{\frac{p_0}{3 \alpha}}\] Для процесса \(p = p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V}\): Максимальная температура: \[T_{max} = \frac{p_0}{R \beta e}\]