Решение задачи B15: Нахождение максимальной температуры идеального газа

Задача B15 Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из процессов: \(p = p_0 - \alpha \cdot V^2\) и \(p = p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V}\), где \(p_0\), \(\alpha\) и \(\beta\) – положительные постоянные, \(V\) – объем одного моля газа. Решение: Для идеального газа уравнение состояния Менделеева-Клапейрона для одного моля газа имеет вид: \[pV = RT\] где \(p\) – давление, \(V\) – объем одного моля газа, \(R\) – универсальная газовая постоянная, \(T\) – абсолютная температура. Из этого уравнения выразим температуру: \[T = \frac{pV}{R}\] Для нахождения максимальной температуры нам нужно найти максимум функции \(T(V)\). Для этого мы возьмем производную \(T(V)\) по \(V\) и приравняем ее к нулю. Рассмотрим каждый процесс отдельно. 1. Процесс: \(p = p_0 - \alpha \cdot V^2\) Подставим выражение для \(p\) в формулу для \(T\): \[T(V) = \frac{(p_0 - \alpha \cdot V^2)V}{R} = \frac{p_0 V - \alpha V^3}{R}\] Чтобы найти максимальную температуру, найдем производную \(T(V)\) по \(V\) и приравняем ее к нулю: \[\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R} \frac{d}{dV}(p_0 V - \alpha V^3) = \frac{1}{R} (p_0 - 3\alpha V^2)\] Приравняем производную к нулю: \[p_0 - 3\alpha V^2 = 0\] \[3\alpha V^2 = p_0\] \[V^2 = \frac{p_0}{3\alpha}\] \[V = \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}\] (Мы берем только положительное значение \(V\), так как объем не может быть отрицательным). Теперь подставим это значение \(V\) обратно в выражение для \(T(V)\): \[T_{max} = \frac{p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}} - \alpha \left(\sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}\right)^3}{R}\] \[T_{max} = \frac{p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}} - \alpha \frac{p_0}{3\alpha} \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}} - \frac{p_0}{3} \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{\left(p_0 - \frac{p_0}{3}\right) \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{\frac{2}{3} p_0 \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}}{R}\] \[T_{max} = \frac{2 p_0}{3R} \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}\] Можно также записать: \[T_{max} = \frac{2 p_0}{3R} \frac{\sqrt{p_0}}{\sqrt{3\alpha}} = \frac{2 p_0^{3/2}}{3R \sqrt{3\alpha}}\] Для проверки, что это максимум, можно взять вторую производную: \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{1}{R} (-6\alpha V)\] При \(V = \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}\) (положительное значение), вторая производная будет отрицательной: \[\frac{d^2T}{dV^2} = -\frac{6\alpha}{R} \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}} < 0\] Это подтверждает, что найденное значение соответствует максимуму. 2. Процесс: \(p = p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V}\) Подставим выражение для \(p\) в формулу для \(T\): \[T(V) = \frac{(p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V})V}{R} = \frac{p_0}{R} V e^{-\beta V}\] Найдем производную \(T(V)\) по \(V\) и приравняем ее к нулю. Используем правило произведения \((uv)' = u'v + uv'\): \[\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} \frac{d}{dV}(V e^{-\beta V}) = \frac{p_0}{R} (1 \cdot e^{-\beta V} + V \cdot (-\beta) e^{-\beta V})\] \[\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (1 - \beta V)\] Приравняем производную к нулю: \[\frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (1 - \beta V) = 0\] Так как \(p_0 \neq 0\), \(R \neq 0\) и \(e^{-\beta V} > 0\) для любого конечного \(V\), то должно быть: \[1 - \beta V = 0\] \[\beta V = 1\] \[V = \frac{1}{\beta}\] Теперь подставим это значение \(V\) обратно в выражение для \(T(V)\): \[T_{max} = \frac{p_0}{R} \left(\frac{1}{\beta}\right) e^{-\beta \left(\frac{1}{\beta}\right)}\] \[T_{max} = \frac{p_0}{R\beta} e^{-1}\] \[T_{max} = \frac{p_0}{eR\beta}\] Для проверки, что это максимум, можно взять вторую производную: \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} \frac{d}{dV} (e^{-\beta V} (1 - \beta V))\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} (-\beta e^{-\beta V} (1 - \beta V) + e^{-\beta V} (-\beta))\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (-\beta (1 - \beta V) - \beta)\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (-\beta + \beta^2 V - \beta)\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta V} (\beta^2 V - 2\beta)\] При \(V = \frac{1}{\beta}\): \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-\beta \cdot \frac{1}{\beta}} \left(\beta^2 \left(\frac{1}{\beta}\right) - 2\beta\right)\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-1} (\beta - 2\beta)\] \[\frac{d^2T}{dV^2} = \frac{p_0}{R} e^{-1} (-\beta) = -\frac{p_0 \beta}{eR}\] Так как \(p_0\), \(\beta\), \(e\), \(R\) – положительные постоянные, то вторая производная отрицательна, что подтверждает, что найденное значение соответствует максимуму. Ответ: 1. Для процесса \(p = p_0 - \alpha \cdot V^2\): \[T_{max} = \frac{2 p_0}{3R} \sqrt{\frac{p_0}{3\alpha}}\] 2. Для процесса \(p = p_0 \cdot e^{-\beta \cdot V}\): \[T_{max} = \frac{p_0}{eR\beta}\]