Решение дифференциального уравнения y'' - 4y = 8x^3 с начальными условиями

Решим дифференциальное уравнение: \[y'' - 4y = 8x^3\] с начальными условиями: \[y(0) = 2, \quad y'(0) = -3\] Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид: \[y'' - 4y = 0\] Характеристическое уравнение: \[r^2 - 4 = 0\] \[r^2 = 4\] \[r = \pm 2\] Корни характеристического уравнения действительные и различные: \(r_1 = 2\), \(r_2 = -2\). Общее решение однородного уравнения: \[y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\] Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения \(f(x) = 8x^3\) является многочленом третьей степени. Предположим частное решение в виде многочлена третьей степени: \[y_p(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\] Найдем первую и вторую производные: \[y_p'(x) = 3Ax^2 + 2Bx + C\] \[y_p''(x) = 6Ax + 2B\] Подставим \(y_p(x)\) и \(y_p''(x)\) в исходное уравнение: \[(6Ax + 2B) - 4(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = 8x^3\] Раскроем скобки: \[6Ax + 2B - 4Ax^3 - 4Bx^2 - 4Cx - 4D = 8x^3\] Сгруппируем члены по степеням \(x\): \[-4Ax^3 - 4Bx^2 + (6A - 4C)x + (2B - 4D) = 8x^3\] Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\): При \(x^3\): \(-4A = 8 \Rightarrow A = -2\) При \(x^2\): \(-4B = 0 \Rightarrow B = 0\) При \(x\): \(6A - 4C = 0\) Подставим \(A = -2\): \(6(-2) - 4C = 0 \Rightarrow -12 - 4C = 0 \Rightarrow -4C = 12 \Rightarrow C = -3\) Свободный член: \(2B - 4D = 0\) Подставим \(B = 0\): \(2(0) - 4D = 0 \Rightarrow -4D = 0 \Rightarrow D = 0\) Таким образом, частное решение: \[y_p(x) = -2x^3 - 3x\] Шаг 3: Запишем общее решение неоднородного уравнения. Общее решение \(y(x)\) равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: \[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - 2x^3 - 3x\] Шаг 4: Используем начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\). Первое начальное условие: \(y(0) = 2\). Подставим \(x = 0\) в общее решение: \[y(0) = C_1 e^{2 \cdot 0} + C_2 e^{-2 \cdot 0} - 2(0)^3 - 3(0) = 2\] \[C_1 e^0 + C_2 e^0 - 0 - 0 = 2\] \[C_1 + C_2 = 2 \quad (1)\] Второе начальное условие: \(y'(0) = -3\). Сначала найдем производную общего решения: \[y'(x) = \frac{d}{dx}(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - 2x^3 - 3x)\] \[y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 2C_2 e^{-2x} - 6x^2 - 3\] Теперь подставим \(x = 0\) в \(y'(x)\): \[y'(0) = 2C_1 e^{2 \cdot 0} - 2C_2 e^{-2 \cdot 0} - 6(0)^2 - 3 = -3\] \[2C_1 e^0 - 2C_2 e^0 - 0 - 3 = -3\] \[2C_1 - 2C_2 - 3 = -3\] \[2C_1 - 2C_2 = 0\] \[C_1 - C_2 = 0 \quad (2)\] Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для \(C_1\) и \(C_2\): 1) \(C_1 + C_2 = 2\) 2) \(C_1 - C_2 = 0\) Сложим уравнения (1) и (2): \((C_1 + C_2) + (C_1 - C_2) = 2 + 0\) \(2C_1 = 2\) \(C_1 = 1\) Подставим \(C_1 = 1\) в уравнение (1): \(1 + C_2 = 2\) \(C_2 = 1\) Шаг 5: Запишем окончательное решение. Подставим найденные значения \(C_1\) и \(C_2\) в общее решение: \[y(x) = 1 \cdot e^{2x} + 1 \cdot e^{-2x} - 2x^3 - 3x\] \[y(x) = e^{2x} + e^{-2x} - 2x^3 - 3x\] Ответ: \[y(x) = e^{2x} + e^{-2x} - 2x^3 - 3x\]