Задача:
На рисунке изображена соединительная втулка, внутренний диаметр которой равен 6, а внешний — 10, высота втулки равна 7.
Найдите объём материала, необходимого для изготовления втулки. В ответе укажите \(\frac{V}{\pi}\).
Решение:
Втулка представляет собой полый цилиндр. Объём материала, необходимого для изготовления втулки, можно найти как разность объёмов внешнего цилиндра и внутреннего цилиндра.
Формула для объёма цилиндра: \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус, \(h\) — высота.
1. Определим радиусы:
Внутренний диаметр \(d_{вн} = 6\), значит, внутренний радиус \(r_{вн} = \frac{d_{вн}}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
Внешний диаметр \(d_{вш} = 10\), значит, внешний радиус \(r_{вш} = \frac{d_{вш}}{2} = \frac{10}{2} = 5\).
Высота втулки \(h = 7\).
2. Вычислим объём внешнего цилиндра \(V_{вш}\):
\[V_{вш} = \pi r_{вш}^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 7 = \pi \cdot 25 \cdot 7 = 175\pi\]
3. Вычислим объём внутреннего цилиндра (полости) \(V_{вн}\):
\[V_{вн} = \pi r_{вн}^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 7 = \pi \cdot 9 \cdot 7 = 63\pi\]
4. Найдем объём материала \(V\):
\[V = V_{вш} - V_{вн} = 175\pi - 63\pi = 112\pi\]
5. В ответе нужно указать \(\frac{V}{\pi}\):
\[\frac{V}{\pi} = \frac{112\pi}{\pi} = 112\]
Ответ: 112