Задача 7. Средняя
Системы рациональных уравнений
Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 + 3xy = 4 \\ 4y^2 + xy = 5 \end{cases} \]Сколько решений имеет система уравнений?
Запишите произведение всех значений \(x\) (т.е. \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \dots\)).
Решение:
Это однородная система уравнений второго порядка. Такие системы часто решают методом деления одного уравнения на другое или методом введения новой переменной.
Заметим, что правые части уравнений — это константы. Давайте умножим первое уравнение на 5, а второе на 4, чтобы приравнять правые части:
\[ \begin{cases} 5(x^2 + 3xy) = 5 \cdot 4 \\ 4(4y^2 + xy) = 4 \cdot 5 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 5x^2 + 15xy = 20 \\ 16y^2 + 4xy = 20 \end{cases} \]Теперь правые части равны, поэтому мы можем приравнять левые части:
\[ 5x^2 + 15xy = 16y^2 + 4xy \]Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
\[ 5x^2 + 15xy - 16y^2 - 4xy = 0 \] \[ 5x^2 + 11xy - 16y^2 = 0 \]Это однородное квадратное уравнение относительно \(x\) и \(y\). Разделим его на \(y^2\) (предполагая, что \(y \neq 0\)).
Случай 1: \(y = 0\).
Если \(y = 0\), подставим это значение в исходную систему:
\[ \begin{cases} x^2 + 3x(0) = 4 \\ 4(0)^2 + x(0) = 5 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x^2 = 4 \\ 0 = 5 \end{cases} \]Второе уравнение \(0 = 5\) является ложным, что означает, что \(y\) не может быть равен 0. Значит, мы можем делить на \(y^2\).
Случай 2: \(y \neq 0\).
Разделим уравнение \(5x^2 + 11xy - 16y^2 = 0\) на \(y^2\):
\[ 5\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 11\left(\frac{x}{y}\right) - 16 = 0 \]Введем новую переменную \(t = \frac{x}{y}\). Тогда уравнение примет вид:
\[ 5t^2 + 11t - 16 = 0 \]Решим это квадратное уравнение относительно \(t\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) \] \[ D = 121 + 320 \] \[ D = 441 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \]Найдем корни \(t_1\) и \(t_2\):
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ t_1 = \frac{-11 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-11 - 21}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -\frac{16}{5} \]Теперь вернемся к замене \(t = \frac{x}{y}\).
Вариант 1: \(t_1 = 1\)
\[ \frac{x}{y} = 1 \implies x = y \]Подставим \(x = y\) в первое уравнение исходной системы:
\[ x^2 + 3x(x) = 4 \] \[ x^2 + 3x^2 = 4 \] \[ 4x^2 = 4 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]Если \(x = 1\), то \(y = 1\). Проверим во втором уравнении: \(4(1)^2 + (1)(1) = 4 + 1 = 5\). Верно. Первое решение: \((x_1, y_1) = (1, 1)\).
Если \(x = -1\), то \(y = -1\). Проверим во втором уравнении: \(4(-1)^2 + (-1)(-1) = 4 + 1 = 5\). Верно. Второе решение: \((x_2, y_2) = (-1, -1)\).
Вариант 2: \(t_2 = -\frac{16}{5}\)
\[ \frac{x}{y} = -\frac{16}{5} \implies x = -\frac{16}{5}y \]Подставим \(x = -\frac{16}{5}y\) в первое уравнение исходной системы:
\[ \left(-\frac{16}{5}y\right)^2 + 3\left(-\frac{16}{5}y\right)y = 4 \] \[ \frac{256}{25}y^2 - \frac{48}{5}y^2 = 4 \]Приведем дроби к общему знаменателю 25:
\[ \frac{256}{25}y^2 - \frac{48 \cdot 5}{25}y^2 = 4 \] \[ \frac{256}{25}y^2 - \frac{240}{25}y^2 = 4 \] \[ \frac{256 - 240}{25}y^2 = 4 \] \[ \frac{16}{25}y^2 = 4 \] \[ y^2 = 4 \cdot \frac{25}{16} \] \[ y^2 = \frac{100}{16} \] \[ y^2 = \frac{25}{4} \] \[ y = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \] \[ y = \pm \frac{5}{2} \]Если \(y = \frac{5}{2}\), то \(x = -\frac{16}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{16}{2} = -8\). Проверим во втором уравнении: \(4\left(\frac{5}{2}\right)^2 + (-8)\left(\frac{5}{2}\right) = 4 \cdot \frac{25}{4} - \frac{40}{2} = 25 - 20 = 5\). Верно. Третье решение: \((x_3, y_3) = (-8, \frac{5}{2})\).
Если \(y = -\frac{5}{2}\), то \(x = -\frac{16}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{16}{2} = 8\). Проверим во втором уравнении: \(4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (8)\left(-\frac{5}{2}\right) = 4 \cdot \frac{25}{4} - \frac{40}{2} = 25 - 20 = 5\). Верно. Четвертое решение: \((x_4, y_4) = (8, -\frac{5}{2})\).
Сколько решений имеет система уравнений?
Система имеет 4 решения.
Запишите произведение всех значений \(x\):
Значения \(x\) найдены: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = -8\), \(x_4 = 8\).
Произведение всех значений \(x\):
\[ P_x = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \] \[ P_x = 1 \cdot (-1) \cdot (-8) \cdot 8 \] \[ P_x = -1 \cdot (-64) \] \[ P_x = 64 \]Ответ:
Количество решений: 4
Произведение всех значений \(x\): 64